Przestrzenie liniowe

[pzielak]

Wiem, że zadania są banalnie proste, ale mimo to proszę o pomoc, gdyż moja pamięć niestety jest bardzo zawodna. Z góry dziękuję za pomoc.

1. Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową funkcji postaci \(\displaystyle{ f(x) = ax + b}\) nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Niech \(\displaystyle{ F : V \mathop{\longrightarrow} \mathbb{R}}\) określona będzie wzorem
\(\displaystyle{ F (f) = f(1) - f(0)}\)

a) Wykazać, że \(\displaystyle{ F}\) jest liniowe
b) Znaleźć \(\displaystyle{ ker}\)\(\displaystyle{ F}\)


2. Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią wielomianów nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\). Niech \(\displaystyle{ F : V \mathop{\longrightarrow} \mathbb{N}}\) będzie określona wzorem:
\(\displaystyle{ F(w(x))=st(w(x))}\).

Wykaż, że \(\displaystyle{ F}\) nie jest liniowa.


3. Niech \(\displaystyle{ F : \mathbb{R}^{3} \mathop{\longrightarrow} \mathbb{R}^{3}}\) będzie zadane macierzą:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1&3&1\\2&5&1\\1&1&5\end{bmatrix}}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ dim}\) \(\displaystyle{ ker}\) \(\displaystyle{ F}\).

4. Niech \(\displaystyle{ V = \left\{ \begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}: a,b,c,d\in \mathbb{R} \right\}}\).
Sprawdź, czy \(\displaystyle{ F : V \leftarrow \mathbb{R}}\) określona wzorem:

\(\displaystyle{ F(A) = detA}\) jest liniowa.

[pyzol]

\(\displaystyle{ f(x)=a_1 x+b_1,g(x)=a_2 x+b_2\\
(f+g)(x)=(a_1+a_2)(x)+b_1+b_2\\
\lambda\cdot f(x)=\lambda (a_1 x+b_1)\\
F(f+g)=(f+g)(1)-(f+g)(0)=a_1+a_2\\
F(f)=a_1,F(g)=a_2...}\)
Podobnie się rozwiązuje:
\(\displaystyle{ F(\lambda f)}\)
Jeśli chodzi o jądro, to:
\(\displaystyle{ F(f)=f(1)-f(0)=a_1 =0}\)
Więc wszystkie funkcje stałe.-- 17 gru 2010, o 11:01 --Aby pokazać że nie jest liniowa wystarczy jeden kontrprzykład:
\(\displaystyle{ w_1 (x)=x,w_2 (x)=x^2\\
F(w_1+w_2)=2\\
F(w_1)+f(w_2)=2+1=3}\)