Dla jakich wartości parametrów \(\displaystyle{ s,t\in \mathbb{R}}\) wektory \(\displaystyle{ v=(5,7,s,2), \; u=(1,3,2,1), \; w=(2,2,4,t)}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\) tworzą układ liniowo niezależny?
Wiem, że to trzeba robić na macierzach, jednak nie zupełnie wiem dlaczego i jak to wpisać w macierz...
Układ jest liniowo niezależny gdy \(\displaystyle{ a\cdot v + b\cdot u + c\cdot w =0 \Longleftrightarrow a,b,c=0}\).
Stąd wnioskuję, że \(\displaystyle{ v,u,w}\) bym wpisał w macierz \(\displaystyle{ 4\times 3}\) (wiersze x kolumny) + kolumna zer. Kolejno "pionowo" \(\displaystyle{ v,u,w}\) i kolumna zer. No i co dalej?
Nie no nie trzeba w macierz wpisywać, ale tak jest szybciej. Wpisujesz wektory w wiersze macierzy. Masz wtedy 3 wiersze, bo tyle masz wektorów. Następnie sprowadzasz do postaci trójkątnej. Wtedy dobierasz tak te parametry aby żaden wiersz się nie wyzerował.
Piotr654 pisze:Nie no nie trzeba w macierz wpisywać, ale tak jest szybciej.
NO OK, OK. To miałem na myśli.
Piotr654 pisze:Masz wtedy 3 wiersze, bo tyle masz wektorów.
Niespecjalne wyjaśnienie...
Nie bardzo rozumiem dlaczego 3 wiersze. Ja rozumuje, że to będą 4 wiersze i 3 kolumny, bo, przecież mamy dowieść, że jeśli: \(\displaystyle{ a\cdot \begin{bmatrix} 5\\7\\s\\2\end{bmatrix} + b\cdot \begin{bmatrix} 1\\3\\2\\1 \end{bmatrix} + c\cdot \begin{bmatrix} 2\\2\\4\\t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{bmatrix}}\) to wtedy \(\displaystyle{ a,b,c=0}\).
A więc powinno się to dać zapisać tak: \(\displaystyle{ \begin{bmatrix}5&1&2\\7&3&2\\s&2&4\\2&1&t \end{bmatrix}}\).
Jeżeli chcesz się upierać przy kolumnach to nikt ci nie broni:) Operacje elementarne na kolumnach macierzy też nie zmieniają powłoki liniowej rozwartej na nich, czyli w szczególności nie mogą zmienić liniowej niezależności kolumn. Wówczas sprowadź utworzoną macierz do kolumnowego odpowiednika macierzy schodkowej i dobierz parametry tak aby dostać wszystkie kolumny niezerowe.
Mimo tego radzę utworzyć macierz z wierszy, ponieważ takie działanie jest bardziej powszechne i wprawa będzie procentować później gdy wszyscy naokoło będą stosować tą samą technikę (np. prezentując jakieś rozwiązanie na ćwiczeniach).
Patrzenie się na wektory jako na wektory kolumnowe jest stosowane przy przekształceniach liniowych- jest to tylko umowa ponieważ rola wierszy i kolumn jest analogiczna, jednak dla własnej wygody lepiej trzymać się ogólnie przyjętych schematów.
