Niezależność liniowa wektorów

[halker]

Nie potrafię sobie wyjaśnić na jakiej zasadzie w moim skrypcie jest to liczone. W zadaniach, gdzie karzą liczyć z definicji zastanawiam się nad rachunkami z poziomu podstawówki i raz wychodzi, a raz nie. Może lepiej będzie jak pokaże to na 2 przykładach.

Polecenie: Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową a, \(\displaystyle{ u, v, w. x}\) wektorami liniowo niezależnymi w tej przestrzeni. Zbadać z definicji niezależność podanych układów wektorów:
1) \(\displaystyle{ u+2v+w, v-3w+x, u-x}\)

Tu dla 3 wektorów \(\displaystyle{ x,y,z}\)
2) \(\displaystyle{ x-2y+z,2x-y,3y+z}\)

Uwzględniając warunek liniowej niezależności : \(\displaystyle{ \alpha _{1} x + \alpha _{2} y= \vec{0}}\) odpowiednio w przykładach wychodzi
1) \(\displaystyle{ \alpha _{1} + \alpha _{3} =2 \alpha _{1} + \alpha _{2}= \alpha _{1}-3 \alpha _{2} = \alpha _{2}- \alpha _{3=0}}\)
2) \(\displaystyle{ \alpha _{1} +2 \alpha _{2}=-2 \alpha _{1}- \alpha _{2}+3 \alpha _{3}= \alpha _{1} + \alpha _{3}= \vec{0}}\)

Jest teraz jakiś algorytm wyznaczania dalej pojedyńczych wartości? Bo ja licząc "normalnie" otrzymuje raz dobre, raz złe wyniki.

I pytanie 2: Czy policzenie wyznacznika z macierzy zbudowanej z współrzędnych tych wektorów może mi jednoznacznie powiedzieć czy są to wektory zależne/niezależne?

[pawels]

Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Jest to bardzo prosty wniosek z definicji liniowej niezależności i nadaje się tutaj dobrze- przypuszczasz że jakiś jest kombinacją liniową pozostałych i korzystasz z danej liniowej niezależności.

Nie wiem za bardzo o co ci chodzi z tym warunkiem linowej niezależności (pewnie dlatego, że brakuje kwantyfikatorów i połowy równoważności), oraz alfy są raz wektorami, a raz elementami ciała.

Co do badania wyznacznika, to raczej nic nie osiągniesz skoro np. w 1 masz 3 wektory, a \(\displaystyle{ \dim V\geq 4}\), ale zamiast tego możesz sprowadzić utworzoną macierz do macierzy trójkątnej za pomocą elementarnych operacji na wierszach i zobaczyć, czy dostałeś wiersz zerowy (tylko wtedy wektory były liniowo zależne).

[miki999]

Układ wektorów jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy gdy jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych. Jest to bardzo prosty wniosek z definicji liniowej niezależności

Zgadza się, jednakże wymagane jest wyjście bezpośrednio z definicji.

Jest teraz jakiś algorytm wyznaczania dalej pojedyńczych wartości? Bo ja licząc "normalnie" otrzymuje raz dobre, raz złe wyniki.

Potraktować jak układ równań. Równania możesz dodawać do siebie, odejmować, z jednego równania wyznaczać zmienną i podstawiać do innego równania etc.

I pytanie 2: Czy policzenie wyznacznika z macierzy zbudowanej z współrzędnych tych wektorów może mi jednoznacznie powiedzieć czy są to wektory zależne/niezależne?

Może, ale to nie będzie bezpośrednio z definicji.


Pozdrawiam.