Obraz i jądro macierzy

[Heniek1991]

Mam problem z wyznaczeniem obrazu i jądra. Proszę więc o wytłumaczenie jak się za to zabrać.

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&1&4&7\\1&1&-1&7\\-1&-1&-1&-3\\1&-1&2&1\end{array}\right]}\)

Wiem oczywiście, że jądro macierzy to zbiór takich \(\displaystyle{ \vec{x}}\), że \(\displaystyle{ A \vec{x} = \vec{0}}\)

Z tego co próbowałem liczyć, to jedynym takim wektorem jest \(\displaystyle{ \vec{x} = \left[\begin{array}{cccc}0\\0\\0\\0\end{array}\right]}\)

[bzyk12]

to źle ci wyszło wyznacznik tej macierzy jest równy zero dlatego nie mógł ci wyjść wektor zerowy. kolumny są liniowo zależne. Ponadto rząd tej macierzy to 3 dlatego wymiar jądra jest 1 a wymiar obrazu to 3. Policz wszystko jeszcze raz

[Heniek1991]

Może pokaż jak liczysz. Z tego co wiem to do znalezienia rzędu stosuje się eliminację Gaussa, a z niej mi wychodzi

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&-1&7\\0&-2&7&-14\\0&0&-2&4\\0&0&0&14\end{array}\right]}\)

[alfgordon]

mi także wyszedł rząd 3...

[Qń]

Może pokaż jak liczysz.

Może raczej Ty pokaż jak liczysz - w końcu to Twoje zadanie.

Q.

[Heniek1991]

Mój błąd, przeliczyłem na spokojnie jeszcze raz i wyszło 3.


\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&1&4&7\\0& \frac{2}{3} &-\frac{7}{3}&\frac{14}{3}\\0&0&-2&4\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)

Teraz pytanie co będzie obrazem macierzy

[Qń]

Obraz macierzy to przestrzeń rozpięta na jej kolumnach.

Q.

[Heniek1991]

Czyli w tym przypadku zbiór takich wektorów z których można otrzymać dowolną macierz, taką, że ostatni wiersz to same zera.

Mogą to być np: \(\displaystyle{ span\left\{\left[\begin{array}{cccc}1\\0\\0\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cccc}0\\1\\0\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cccc}0\\0\\1\\0\end{array}\right] \right\}}\)

[Qń]

Nie, nie chodzi o tę macierz, tylko o macierz wyjściową.

Q.

[Heniek1991]

Już czaje: \(\displaystyle{ span\left\{\left[\begin{array}{cccc}3\\1\\-1\\1\end{array}\right], \left[\begin{array}{cccc}4\\2\\-2\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{cccc}0\\-2\\0\\0\end{array}\right] \right\}}\)

Teraz mam dobrze?

Jeśli tak do wielkie dzięki za pomoc-- 14 gru 2010, o 22:11 --Jeszcze zastanawiam się nad jądrem wyszło mi, że to takie wektory:

\(\displaystyle{ \left\{\left[\begin{array}{cccc}-5x _{4} \\0\\2x _{4}\\x _{4}\end{array}\right] \right\}}\)

Jeśli się mylę, proszę o poprawienie

[Qń]

Zgadza się.

Q.

[alamapsa]

Dlaczego wyszlo ci takie jadro?? jestes to w stanie wytlumaczyc??