Wektory tworzące łamaną

mobopx · Post autor: **mobopx** » 14 gru 2010, o 15:13

Witam.

Zadanie na kolo:

Dane są 4 wektory:
\(\displaystyle{ a=i+5j+3k,}\)
\(\displaystyle{ b=6i-4j-2k,}\)
\(\displaystyle{ c=-5j+7k,}\)
\(\displaystyle{ d=-20i+27j-35k.}\)

Dobierz liczby \(\displaystyle{ \alpha \beta \gamma}\) aby \(\displaystyle{ \alpha a, \beta b, \gamma c,}\) oraz \(\displaystyle{ d}\)tworzyły łamaną zamkniętą (Początek każdego następnego wektora jest końcem poprzedniego)

Proszę o ogólne wskazówki od czego zacząć, jak będę miał start to już później sobie poradzę...
Pozdro

matmi · Post autor: **matmi** » 14 gru 2010, o 15:41

czym są: i,j,k i do jakiego zbioru należą?

rtuszyns · Post autor: **rtuszyns** » 14 gru 2010, o 15:56

matmi pisze:czym są: i,j,k i do jakiego zbioru należą?

To jest standardowa notacja wersorowa (wektorów bazowych w przestrzeni euklidesowej).

\(\displaystyle{ i=[1,0,0]\\
j=[0,1,0]\\
k=[0,0,1]}\)

mobopx · Post autor: **mobopx** » 14 gru 2010, o 15:59

hmm... mam tylko takie info jak napisałem.

\(\displaystyle{ i,j,k}\)to chyba współczynniki odpowiadające odpowiednio współrzędnym \(\displaystyle{ (x,y,z)}\)

chodzi mi o informację kiedy koniec wektora jest początkiem następnego, bo później dobrać liczby będzie już chyba łatwo.

matmi · Post autor: **matmi** » 14 gru 2010, o 16:17

To zaczep wektor a w \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) (to nie ma żadnego znaczenie gdzie, ale będzie łatwiej liczyć)
i teraz:
\(\displaystyle{ (0,0,0) \rightarrow (\alpha,5\alpha,3\alpha)}\) (wektor \(\displaystyle{ \alpha \vec{a}}\))

\(\displaystyle{ (\alpha,5\alpha,3\alpha) \rightarrow (\alpha+6 \beta ,5\alpha-4\beta,3\alpha-2\beta)}\) (wektor \(\displaystyle{ \beta \vec{b}}\))

itd..
Po wektorze d mamy otrzymać znów (0,0,0), czyli dostaniemy układ trzech równań, gdy porównamy współrzędne końca d z początkiem a

mobopx · Post autor: **mobopx** » 14 gru 2010, o 16:25

Nie chwytam tego... skąd się wzięło \(\displaystyle{ ( \alpha ,5 \alpha , \alpha )}\)?

Te \(\displaystyle{ \alpha \beta \gamma}\) to mają być liczby czy mogą być wektory...

matmi · Post autor: **matmi** » 14 gru 2010, o 16:57

Sorki za błąd..
Są to współczynniki te same co przed i,j,k pomnożone przez \(\displaystyle{ \alpha}\)

Qń · Post autor: Qń » 14 gru 2010, o 17:20

Wskazówka - musi być spełniony warunek:
\(\displaystyle{ \alpha a+ \beta b +\gamma c +d=0}\)
czyli
\(\displaystyle{ \alpha (1,5,3)+ \beta (6,-4,-2) +\gamma (0,-5,7)+ (-20,27,-35)=(0,0,0)}\)

Daje to układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

Q.

mobopx · Post autor: **mobopx** » 14 gru 2010, o 17:43

Więc tak:

Wektor \(\displaystyle{ \alpha a}\) = \(\displaystyle{ ( \alpha , 5 \alpha , \alpha )}\)
Wektor \(\displaystyle{ \beta b}\) = \(\displaystyle{ ( \alpha +6 \beta , 5 \alpha -4 \beta , 3 \alpha -2 \beta )}\)
Wektor \(\displaystyle{ \gamma c}\) = \(\displaystyle{ ( \alpha +6 \beta , 5 \alpha -4 \beta -5\gamma, 3 \alpha -2 \beta +7\gamma )}\)
I w końcu wektor \(\displaystyle{ d}\) = \(\displaystyle{ ( \alpha +6 \beta -20 , 5 \alpha -4 \beta -5\gamma +27, 3 \alpha -2 \beta +7\gamma -37)}\) przyrównujemy do \(\displaystyle{ (0,0,0)}\) czyli mamy:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} \alpha +6 \beta -20 = 0\\ 5 \alpha -4 \beta -5\gamma +27 = 0\\3 \alpha -2 \beta +7\gamma -37 = 0\end{array}}\)

Tak to ma wyglądać?

matmi · Post autor: **matmi** » 14 gru 2010, o 19:57

Tak, teraz rozwiązać i jest