Znaleźć wymiar

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 12 gru 2010, o 10:51

Znajdź wymiar podanych powłok liniowych:
a)
\(\displaystyle{ dim \left( Lin(v_1,v_2,v_3) \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ v_1=(1,2,4),\ v_2=(2,2,0),\ v_3=(1,3,1)}\)
b)
\(\displaystyle{ dim \left( Lin(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5) \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ v_1=(8,1,-2),\ v_2=(2,7,4),\ v_3=(2,4,2)\ v_4=(-1,-2,-1),\ v_5=(1,5,3)}\)
c)
\(\displaystyle{ dim \left( Lin(v_1,v_2,v_3,v_4,v_5) \right)}\) gdzie \(\displaystyle{ v_1=(1,1,-2,0,2),\ v_2=(1,2,-3,7,8),\ v_3=(1,1,2,-4,2)\ v_4=(0,1,5,-1,-1),\ v_5=(0,0,-5,3,4)}\)

Proszę o rozwiązanie krok po kroku. Dziękuję z góry.

Gacuteek · Post autor: **Gacuteek** » 12 gru 2010, o 11:30

Wymiar powłoki liniowej to rząd macierzy powstałej poprzez wpisanie wektorów generujących podprzestrzeń do macierzy (pionowo lub poziomo bo wiemy że \(\displaystyle{ rzA=rzA^{T}}\))

MG

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 12 gru 2010, o 11:55

Właśnie muszę znaleźć rząd macierzy obliczając wymiar powłoki liniowej, ale nie wiem jak to się liczy.

alfgordon · Post autor: **alfgordon** » 12 gru 2010, o 13:29

np 1)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&4\\2&2&0\\1&3&1\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1&2&4\\0&-2&-8\\0&1&-3\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1&2&4\\0&1&4\\0&0&-7\end{bmatrix}}\)

w 1 przekształceniu:
W2-2W1,W3-W1,
w 2 przekształceniu:
W2: \(\displaystyle{ - \frac{1}{2}}\) W2 , W3-W2

więc mamy już postać schodkową, i wymiar wynosi 3, ( bo mamy 3 schodki)

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 12 gru 2010, o 13:35

hmm, muszę obliczyć rząd macierzy nie korzystając z metody eliminacji Gaussa, szukania nieosobliwego minora macierzy itp. jedynie licząc wymiar, a tego nie umiem robić...
To może inaczej, a gdyby tymi wektorami były wielomiany:
\(\displaystyle{ v_1=x,\ v_2=x^2+2,\ v_3=x^4+2x^2+x+1}\)
w \(\displaystyle{ R_4[x]}\)
i należy znaleźć wymiar powłoki liniwej:
\(\displaystyle{ dim \left(Lin(v_1,v_2,v_3) \right)}\)
to jak wtedy należy postąpić?

Dziękuję wszystkim za dotychczasowe odpowiedzi.

xanowron · Post autor: **xanowron** » 14 gru 2010, o 00:13

A moc bazy możesz policzyć?

Piotr654 · Post autor: **Piotr654** » 16 gru 2010, o 18:08

Każda skończeniewymiarowa przestrzeń liniowa np. wymiaru n jest izomorficzna z ciałem wymiaru n, więc wielomian stopnia n można utożsamić z wektorem wymiaru n, o współrzędnych które są współczynnikami wielomianu przy odpowiednich potęgach, więc też nalepiej wpisać w macierz. Jeżeli nie można korzystać z macierzy, to trzeba z definicji bezpośrednio sprawdzić liniową niezależność wektorów, albo sprawdzić, czy któryś nie jest kombinacją liniową pozostałych.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 16 gru 2010, o 22:37

Piotr654 pisze:trzeba z definicji bezpośrednio sprawdzić liniową niezależność wektorów...

czyli układ równań z pewnymi współczynnikami \(\displaystyle{ \alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n}\) i jeżeli wybikałoby z niego, że \(\displaystyle{ \alpha_1=\alpha_2=...=\alpha_n=0}\), to mamy dopiero liniową niezależność, a jak policzyć wymiar? czy bedzie on równy ilości wektorów? a jeżeli nie będą liniowo niezależne?

Piotr654 · Post autor: **Piotr654** » 17 gru 2010, o 09:16

Tzn. ogólnie wymiar, to jest liczba liniowo niezależnych wektorów w bazie, baza to zbiór liniowo niezależnych wektorów, które generują przestrzeń, czyli czasem trzeba jeszcze sprawdzić, czy te wektory są generatorami. W naszym przypadku np. w a), wiesz od razu, że ta powłoka liniowa jest generowana przez te 3 wektory, z definicji powłoki to wynika, więc jeśli np. 2 wektory będą liniowo niezależne, to wymiar jest 2, bo ten 3 niczego nowego nie wygeneruje.

tometomek91 · Post autor: **tometomek91** » 17 gru 2010, o 14:24

ok, dzięki wszystkim!-- 17 gru 2010, o 14:24 --ok, dzięki wszystkim!