Wektory: podprzestrzen i baza wektorowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
aryu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 11 gru 2010, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Homeless
Podziękował: 1 raz

Wektory: podprzestrzen i baza wektorowa

Post autor: aryu »

1. Czy wektor (3,-1,0)\(\displaystyle{ \in R^{3}}\) należy do podprzestrzeni wektorowej rozpiętej przez wektory: (2,-1,3), (-1,0,1), (1,1,9)

2. Czy wektory (2,2,1), (2,-1,2), (-1,2,2) tworzą bazę w \(\displaystyle{ R^{3}}\)? Jeśli tak, to znaleźć współrzędne wektora v=(1,1,1) w tej bazie.

3. Które z układów wektorów są liniowo niezależne?
V = \(\displaystyle{ R^{3}}\), k = R, \(\displaystyle{ v_{1}}\) =(3,-1,4), \(\displaystyle{ v_{2}}\)=(1,1,7), \(\displaystyle{ v_{3}}\)=(6,-3,1)


Ad 1 W ogóle nie wiem jak ruszyć

Ad 2

Czy żeby sprawdzić czy wektory tworzą bazę wystarczy sprawdzić ich liniowa niezależność, tak? Czy lepiej sprawdzić, czy wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorów jest różny od 0? Jak odnaleźć współrzędne wektora v ?
Czy wektor ten wyznaczamy w następujący sposób?:

(a,b,c) /współrzędne tego wektora w nowej bazie
(a,b,c) = x\(\displaystyle{ v_{1}}\) + y\(\displaystyle{ v_{2}}\) + z\(\displaystyle{ v_{3}}\);
Wyliczamy z układu równań a,b,c, za x,y i z podstawiamy współrzędne starego wektora czyli (1,1,1) w tym wypadku, i powinny wyjść współrzędne wektora v w tej oto bazie?

Ad 3 Takie było polecenie, wydaje mi się ono nielogiczne, ale może się myle
Caballero
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 3 lis 2010, o 20:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kpns
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 9 razy

Wektory: podprzestrzen i baza wektorowa

Post autor: Caballero »

Ad. 1
Masz jakąś przestrzeń \(\displaystyle{ V \subset R^{3}}\)

\(\displaystyle{ V = Lin \left\{ (2,-1,3),(-1,0,1),(1,1,9) \right\}}\)

Możesz np. po prostu rozwiązać układ równań i sprawdzić czy nie jest sprzeczny:
\(\displaystyle{ \alpha (2,-1,3) + \beta (-1,0,1) + \gamma (1,1,9) = (3,-1,0)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}2\alpha -\beta + \gamma = 3 \\
-\alpha + \gamma = -1 \\
3\alpha + \beta + 9\gamma = 0
\end{cases}}\)


Ad. 2
Tak, wystarczy, żebyś sprawdził liniową niezależność tych wektorów.

Współrzędne wektora znajdujesz układając taki sam układ, jak w zad 1

Ad. 3
Hmm... Może chodzi o to, byś sprawdził które z tych wektorów są liniowo niezależne? Najpierw \(\displaystyle{ v_{1} \ i \ v_{2}}\), potem \(\displaystyle{ v_{1} \ i \ v_{3}}\), \(\displaystyle{ v_{2} \ i \ v_{3}}\) oraz \(\displaystyle{ v_{1} \ i \ v_{2} \ i \ v_{3}}\)?
ODPOWIEDZ