Czy dane przekształcenie jest przekształceniem liniowym.

gadonn · Post autor: **gadonn** » 11 gru 2010, o 22:53

Witam.
Mam takie zadanie, którego polecenie nie do końca rozumiem.
Czy przekształcenie a) \(\displaystyle{ \phi : M_{2x2} \to M_{3x2} , \phi(X) = \begin{bmatrix} 1&2\\0&0\\1&2\end{bmatrix} . X ; b) \phi : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2} , \phi - \phi}\) - obrót o kąt \(\displaystyle{ \pi/4}\) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegra wokół punktu \(\displaystyle{ (-1,-1)}\) jest przekształceniem liniowym? Dla przekształcenia wyznaczyć jądro i obraz oraz ich bazy z wymiarami. Czy jest to przekształcenie nieosobliwe, czy jest "na"?
Proszę o jakieś wskazówki.
pozdrawiam

Luxy · Post autor: **Luxy** » 12 gru 2010, o 00:15

Tu jest więcej niż jedno polecenie. Którego zdania nie rozumiesz?

gadonn · Post autor: **gadonn** » 12 gru 2010, o 23:52

Nie wiem jak sprawdzić czy są to przekształcenia. Oczywiście definicję znam, ale nie wiem jak ją zastosować?
pozdr

Luxy · Post autor: **Luxy** » 13 gru 2010, o 10:04

To są na pewno przekształcenia, bo widać, że coś przekształcają. Masz sprawdzić, że są liniowe, więc robisz tak jak z definicji, czyli sprawdzasz czy \(\displaystyle{ \phi (X+Y) = \phi(X) + \phi(Y) \ oraz \ \phi(c \cdot X) = c \cdot \phi(X)}\), gdzie c jest dowolnym skalarem z ciała (u ciebie to chyba po prostu dowolna liczba).
... ie_liniowe