Mamy cialo \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 1}\). Mamy tez \(\displaystyle{ A \in M _{n}(K)}\) i mowimy, ze A ma multiplikacyjna odwrotnosc, gdy macierz \(\displaystyle{ B \in M _{n}(K)}\), gdzie \(\displaystyle{ AB=E _{n}}\). Jesli \(\displaystyle{ A}\) ma multiplikacyjna odwrotnosc, to \(\displaystyle{ A}\) nazywamy odwracalnym i zapisujemy \(\displaystyle{ A ^{-1}}\).
(a) Mamy \(\displaystyle{ A,B \in M _{n}(K)}\) odwracalne. Pokaz, ze \(\displaystyle{ AB}\) tez jest odwracalne i znajdz zwiazek pomiedzy \(\displaystyle{ A ^{-1}, B ^{-1}}\) i \(\displaystyle{ (AB) ^{-1}}\).
Moja odpowiedz:
\(\displaystyle{ AB=(AB) ^{-1}=(A ^{-1}B ^{-1}}\)
Zwiazek:
\(\displaystyle{ A ^{-1} \cdot B ^{-1}=(AB) ^{-1}}\), poniewaz \(\displaystyle{ BA(A ^{-1} \cdot B ^{-1})=B \cdot (A \cdot A ^{-1})B ^{-1}=B \cdot B ^{-1}=E}\).
Czy moglby ktos sprawdzic poprawnosc mojej odpowiedzi??
(b)Pokaz, ze zbior \(\displaystyle{ GL _{n}(K)}\) odwrotnej macierzy z \(\displaystyle{ M _{n}(K)}\) buduje grupe w odniesieniu do multiplikacji.
Tego niestety nie potrafie rozwiazac. Mysle, ze musze pokazac wlasciwosci grupy, ale nie wiem jak mam podstawic...
Czy moglby mi ktos w tym pomoc??
Z gory dziekuje za pomoc.