Eliminacja Gaussa

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 8 gru 2010, o 13:14

Zastosuj eliminację Gaussa do rozwiązania następującego układu równań liniowych:

\(\displaystyle{ 3x+y-z=0,
5x+3y-2z=-3,
7x+2y+2z=5.}\)
Rozpisujemy to w postaci macierzowej, ale nie mogę dalej tego przekształcić do do układu z macierzą trójkątną górną.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 10 gru 2010, o 23:12

Ale w którym miejscu się gubisz? Napisz z czym konkretnie jest problem, a pokierujemy

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 11 gru 2010, o 12:27

Rozpisując układ do postaci macierzowej

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\5&3&-2&;-3\\7&2&2&;5\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} W2=W2- \frac{5}{3}W1 \\ W3=W3- \frac{7}{3}W1 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\0& \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} &;-3\\0&- \frac{1}{3} & \frac{13}{3} &;5\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W3=W3+W2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\0& \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} &;-3\\0&0 &4 &;2\end{bmatrix}}\)

Czy tak należało rozpisać ten układ w el. gaussa (bo już z rozwiązaniem to nie będzie problemu)?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 11 gru 2010, o 13:14

Już spokojnie możesz odczytać rozwiązanie (rachunków nie sprawdzam), bo:

\(\displaystyle{ 4z=2}\)

z ostatniego. Więc masz już \(\displaystyle{ z}\). Wstawiasz \(\displaystyle{ z}\) do drugiego równania itd,

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 11 gru 2010, o 14:25

rozwiązując wychodzi, że z=2, y=-7, x=3

lecz sprawdzając wynik:

3x+y-z=0, 5x+3y-2z=-3, 7x+2y+2z=5.

wychodzi, że tylko pierwsza równość jest spełniona a 2 pozostałe nie jak to wytłumaczyć?

5t4rcH · Post autor: **5t4rcH** » 11 gru 2010, o 16:19

Czyli rozwiązania są złe, bo źle przekształciłeś macierz do postaci schodkowej.
Powinieneś uzyskać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&1&-1&; 0\\0&1\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}& ; -3\\0&0&4\frac{1}{4}&:4\frac{1}{4}\end{array}\right]}\)

Robiąc ten krok (\(\displaystyle{ W2=W2- \frac{5}{3}W1}\)) popełniłeś bład rachunkowy w 2 elem. \(\displaystyle{ 3- \frac{5}{3} = \frac{4}{3}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

DBoniem · Post autor: **DBoniem** » 14 gru 2010, o 21:18

Ok to już potrafię dokończyć.

Oblicz macierz odwrotną do macierzy układu z poprzedniego zadania i za jej pomocą
rozwiąż ten układ. Macierz odwrotną oblicz za pomocą eliminacji Gaussa zastosowanej
do równania AX = I.

Czy tutaj należy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ [A|I] \Rightarrow [I, A^{-1}]}\)?