Zastosuj eliminację Gaussa do rozwiązania następującego układu równań liniowych:
\(\displaystyle{ 3x+y-z=0,
5x+3y-2z=-3,
7x+2y+2z=5.}\)
Rozpisujemy to w postaci macierzowej, ale nie mogę dalej tego przekształcić do do układu z macierzą trójkątną górną.
Eliminacja Gaussa
Eliminacja Gaussa
Ale w którym miejscu się gubisz? Napisz z czym konkretnie jest problem, a pokierujemy
-
- Użytkownik
- Posty: 312
- Rejestracja: 25 lis 2010, o 13:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Eliminacja Gaussa
Rozpisując układ do postaci macierzowej
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\5&3&-2&;-3\\7&2&2&;5\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} W2=W2- \frac{5}{3}W1 \\ W3=W3- \frac{7}{3}W1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\0& \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} &;-3\\0&- \frac{1}{3} & \frac{13}{3} &;5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W3=W3+W2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\0& \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} &;-3\\0&0 &4 &;2\end{bmatrix}}\)
Czy tak należało rozpisać ten układ w el. gaussa (bo już z rozwiązaniem to nie będzie problemu)?
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\5&3&-2&;-3\\7&2&2&;5\end{bmatrix}}\) \(\displaystyle{ \begin{cases} W2=W2- \frac{5}{3}W1 \\ W3=W3- \frac{7}{3}W1 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\0& \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} &;-3\\0&- \frac{1}{3} & \frac{13}{3} &;5\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ W3=W3+W2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&1&-1&;0\\0& \frac{1}{3} &- \frac{1}{3} &;-3\\0&0 &4 &;2\end{bmatrix}}\)
Czy tak należało rozpisać ten układ w el. gaussa (bo już z rozwiązaniem to nie będzie problemu)?
Eliminacja Gaussa
Już spokojnie możesz odczytać rozwiązanie (rachunków nie sprawdzam), bo:
\(\displaystyle{ 4z=2}\)
z ostatniego. Więc masz już \(\displaystyle{ z}\). Wstawiasz \(\displaystyle{ z}\) do drugiego równania itd,
\(\displaystyle{ 4z=2}\)
z ostatniego. Więc masz już \(\displaystyle{ z}\). Wstawiasz \(\displaystyle{ z}\) do drugiego równania itd,
-
- Użytkownik
- Posty: 312
- Rejestracja: 25 lis 2010, o 13:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Eliminacja Gaussa
rozwiązując wychodzi, że z=2, y=-7, x=3
lecz sprawdzając wynik:
3x+y-z=0, 5x+3y-2z=-3, 7x+2y+2z=5.
wychodzi, że tylko pierwsza równość jest spełniona a 2 pozostałe nie jak to wytłumaczyć?
lecz sprawdzając wynik:
3x+y-z=0, 5x+3y-2z=-3, 7x+2y+2z=5.
wychodzi, że tylko pierwsza równość jest spełniona a 2 pozostałe nie jak to wytłumaczyć?
Eliminacja Gaussa
Czyli rozwiązania są złe, bo źle przekształciłeś macierz do postaci schodkowej.
Powinieneś uzyskać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&1&-1&; 0\\0&1\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}& ; -3\\0&0&4\frac{1}{4}&:4\frac{1}{4}\end{array}\right]}\)
Robiąc ten krok (\(\displaystyle{ W2=W2- \frac{5}{3}W1}\)) popełniłeś bład rachunkowy w 2 elem. \(\displaystyle{ 3- \frac{5}{3} = \frac{4}{3}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
Powinieneś uzyskać:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}3&1&-1&; 0\\0&1\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}& ; -3\\0&0&4\frac{1}{4}&:4\frac{1}{4}\end{array}\right]}\)
Robiąc ten krok (\(\displaystyle{ W2=W2- \frac{5}{3}W1}\)) popełniłeś bład rachunkowy w 2 elem. \(\displaystyle{ 3- \frac{5}{3} = \frac{4}{3}}\) a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 312
- Rejestracja: 25 lis 2010, o 13:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Eliminacja Gaussa
Ok to już potrafię dokończyć.
Oblicz macierz odwrotną do macierzy układu z poprzedniego zadania i za jej pomocą
rozwiąż ten układ. Macierz odwrotną oblicz za pomocą eliminacji Gaussa zastosowanej
do równania AX = I.
Czy tutaj należy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ [A|I] \Rightarrow [I, A^{-1}]}\)?
Oblicz macierz odwrotną do macierzy układu z poprzedniego zadania i za jej pomocą
rozwiąż ten układ. Macierz odwrotną oblicz za pomocą eliminacji Gaussa zastosowanej
do równania AX = I.
Czy tutaj należy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ [A|I] \Rightarrow [I, A^{-1}]}\)?