Sprawdzić że zbiór\(\displaystyle{ U={(x _{1},x _{2},x _{3},x _{4},x _{5}) \in R ^{5};x _{1} -2x _{2}+x _{5}=0 \wedge x _{3}-x _{4}+2x _{5}=0)}\) stanowi podprzestrzeń liniową przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ (R ^{5},R,+,.)}\)
Proszę o pomoc bo nie wiem jak mam to zadanie rozwiązać.
podprzestrzen liniowa
-
asiula0321
- Użytkownik
- Posty: 242
- Rejestracja: 20 gru 2009, o 13:41
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7330
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
podprzestrzen liniowa
Weźmy 2 X,Y wektory z tego zbioru i skalar z a\(\displaystyle{ mathbb{R}}\)
X i Y należą ,to z definicji podprzestrzeni liniowej S i M też należą . oznaczmy S=(X+Y) i M=aX
Korzystarz tylko faktu ,że jeżeli x=0,y=0 to x+y=0,z lączności i rozdzielczości dodawania względem mnożenia.
X i Y należą ,to z definicji podprzestrzeni liniowej S i M też należą . oznaczmy S=(X+Y) i M=aX
Korzystarz tylko faktu ,że jeżeli x=0,y=0 to x+y=0,z lączności i rozdzielczości dodawania względem mnożenia.
-
asiula0321
- Użytkownik
- Posty: 242
- Rejestracja: 20 gru 2009, o 13:41
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gdańsk
podprzestrzen liniowa
zaczełam robic to w ten sposób:
wyzanczyłam \(\displaystyle{ x _{5}=2x _{2}-x _{1}, x _{3}=x _{4}-4x _{2}+2x _{1}}\)
wektor \(\displaystyle{ a=[x _{1},x _{2},x _{4}-4x _{2}+2x _{1},x _{4},2x _{2}-x _{1}]}\)
wektor \(\displaystyle{ a=[y _{1},y _{2},y _{4}-4y _{2}+2y _{1},y _{4},2y _{2}-y _{1}]}\)
patrze czy suma tych wektorów nalezy do przestrzeni
\(\displaystyle{ c=a+b=[x _{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{4}-4x_{2}+2x_{1}+y_{4}-4y_{2}+2y_{1},x_{4}+y_{4},2x_{2}-x_{1}+2y_{2}-y_{1}]=[x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},(x_{4}+y_{4})-4(x_{2}+y_{2})+2(x_{1}+y_{1}),x_{4}+y_{4},2(x _{2}+y _{2})-(x _{1}+y _{1})]}\)
zatem istnieje takie \(\displaystyle{ c=[z _{1},z _{2},z _{4}-4z _{2}+2z _{1},z _{4},2z _{2}-z _{1}]}\)
jeden warunke sprawdziłam i jeszcze mi zostało sprawdzić wektor pomnnozony przez jakiś skalar nalezy do przestrzenie tak? czy wogóle o to w tym zadaniu chodzi?
wyzanczyłam \(\displaystyle{ x _{5}=2x _{2}-x _{1}, x _{3}=x _{4}-4x _{2}+2x _{1}}\)
wektor \(\displaystyle{ a=[x _{1},x _{2},x _{4}-4x _{2}+2x _{1},x _{4},2x _{2}-x _{1}]}\)
wektor \(\displaystyle{ a=[y _{1},y _{2},y _{4}-4y _{2}+2y _{1},y _{4},2y _{2}-y _{1}]}\)
patrze czy suma tych wektorów nalezy do przestrzeni
\(\displaystyle{ c=a+b=[x _{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},x_{4}-4x_{2}+2x_{1}+y_{4}-4y_{2}+2y_{1},x_{4}+y_{4},2x_{2}-x_{1}+2y_{2}-y_{1}]=[x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},(x_{4}+y_{4})-4(x_{2}+y_{2})+2(x_{1}+y_{1}),x_{4}+y_{4},2(x _{2}+y _{2})-(x _{1}+y _{1})]}\)
zatem istnieje takie \(\displaystyle{ c=[z _{1},z _{2},z _{4}-4z _{2}+2z _{1},z _{4},2z _{2}-z _{1}]}\)
jeden warunke sprawdziłam i jeszcze mi zostało sprawdzić wektor pomnnozony przez jakiś skalar nalezy do przestrzenie tak? czy wogóle o to w tym zadaniu chodzi?
-
Caballero
- Użytkownik
- Posty: 49
- Rejestracja: 3 lis 2010, o 20:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kpns
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 9 razy
podprzestrzen liniowa
Tak, teraz bierzesz dowolny wektor należący do zbioru U \(\displaystyle{ a = \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right)}\)
Bierzesz skalar \(\displaystyle{ \alpha \in R}\)
I liczysz \(\displaystyle{ \alpha \cdot a\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \left(x_{1},x_{2},x_{4}-4x_{2}+2x_{1},x_{4},2x_{2}-x_{1}\right)=\left( \alpha x_{1},\alpha x_{2}, \alpha \left( x_{4} - 4x_{2} + 2x_{1} \right), \alpha x_{4}, \alpha \left( 2x_{2} - x_{1}\right) \right)=}\)
\(\displaystyle{ =a\left(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha x_{3},\alpha x_{4},\alpha x_{5}\right)}\)
Wcześniej sprawdzałaś czy podprzestrzeń jest zamknięta ze względu przez dodawanie.
A powyżej sprawdzenie czy podprzestrzeń jest zamknięta ze względu na mnożenie.
Z tych dwóch warunków wynika, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ U\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right)}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{5}}\), jest przestrzenią liniową.
Bierzesz skalar \(\displaystyle{ \alpha \in R}\)
I liczysz \(\displaystyle{ \alpha \cdot a\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right)}\)
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \left(x_{1},x_{2},x_{4}-4x_{2}+2x_{1},x_{4},2x_{2}-x_{1}\right)=\left( \alpha x_{1},\alpha x_{2}, \alpha \left( x_{4} - 4x_{2} + 2x_{1} \right), \alpha x_{4}, \alpha \left( 2x_{2} - x_{1}\right) \right)=}\)
\(\displaystyle{ =a\left(\alpha x_{1},\alpha x_{2},\alpha x_{3},\alpha x_{4},\alpha x_{5}\right)}\)
Wcześniej sprawdzałaś czy podprzestrzeń jest zamknięta ze względu przez dodawanie.
A powyżej sprawdzenie czy podprzestrzeń jest zamknięta ze względu na mnożenie.
Z tych dwóch warunków wynika, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ U\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}\right)}\) przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ R^{5}}\), jest przestrzenią liniową.