ZAdania z grup i podgrup

[krzysiu776]

Bardzo prosze o pomoc w rozwiązaniu tych zadań. Mam z nimi duże problemy a niedługo kolokwium z tego. Prosze o pomoc. Bardzo bym prosił żeby chociaż jedno zadanie rozwiązać bardzo dokładnie krok po kroku i wytłumaczyć dokładnie co i jak. Z góry dziękuje. Oto zadania:

Zbadaj czy są grupami następujące struktury:
1. (R,�)
2. (Q×Q;*) gdzie (a,b)*(c,d)=(a,d) dla (a,b),(c,d) ε Q×Q
3. (Z;*) gdzie *={((x,y),z) ε Z�xZ : z=x+y+1}
4. (Z,Z�x{0})
5. (A;°) gdzie A jest zbiorem funkcji f : R→R postaci f(x)=ax+b gdzie a,b ε R, a≠0, zaś ° jest składaniem funkcji.
6. (Z6;+6) gdzie x+6y jest równe reszcie z dzielenia sumy x+y przez 6 dla x,y ε Z6
7. (N;*) gdzie x*y=x+y+xy dla x,y ε N
8. Określ działanie * w zbiorze {1,2,3} tak, by struktura ({1,2,3}:*) posiadała element neutralny, każdy jej element miał element odwrotny, a nie była grupą.

Legenda:
Z- zbiór liczb całkowitych
R- zbiór liczb rzeczywistych
N- zbiór liczb naturalnych
Q- zbiór liczb wymiernych

[mol_ksiazkowy]

ah hoc ad 8

1*1 = 1
1*2 = 2*1 = 2
1*3 = 3*1 = 3

2*2 = 1
3*3 = 1

2*3 = 3
3*2 = 2

1=el.neutralny a^-1 =a. ale brak łacznosci.....

(2*3)*2 2*(3*2)

[krzysiu776]

Nie rozumiem dlaczego 2*3 jest równe 3 i 3*2 jest równe 2. Możesz to wytłumaczyć ?

[mol_ksiazkowy]

Tak sobie poprostu definiujemy to działanie. chcemy aby elementy a=(2*3)*2 i b=2*(3*2) były różne. A wiec skoro np określiłem ze 3*2= 2, to b=1, zas....gdybym przyjał np. , ze 2*3=2, to a=1 i niedobrze!! a wiec ....definiuje 2*3=3 i wtedy a=2, i ok

[krzysiu776]

Dzięki wielkie a jeśli potrafisz zrobić pozostałe zadania to prosze pomóż.

[mol_ksiazkowy]

ad 7,
w tej strukturze istnieje element neutralny e=0 (x*0=0*x=x), jednak nie jest to grupa, bo juz chocby x=1 nie ma elementu odwrotnego: nie istnieje wszak takie y bedace liczba naturalna, ze:
1*y=1+y+y=0.
odp. To nie jest grupa!