Układ równań Kroneckera-Capelliego

[renikson]

Mam taki układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{2}-3x_{3}-2x_{4}=0\\x_{1}-2x_{2}+x_{4}=-2\\3x_{1}-5x_{2}-x_{3}=9 \end{array}}\)
muszę go rozwiązać stosując twierdzenie Kroneckera-Capelliego. I nie wiem jak zrobić?
Może mi ktoś pomóc? Jakoś naprowadzić?

[Afish]

Najpierw robisz macierz współczynników i macierz uzupełnioną. Obliczasz ich rzędy - jeżeli są równe, to układ jest rozwiązywalny. W zależności od rzędu macierzy wnioskujesz, ile zmiennych jest niezależnych, a ile staje się parametrami - twierdzenie Croneckera-Capellego. Potem (jeżeli trzeba) przerzucasz niektóre wyrazy na prawą stronę i stosujesz wzory Cramera.

[renikson]

zrobiłem macierz współczynników:
\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 0&1&-3&-2\\1&-2&0&1\\3&-5&-1&0\end{bmatrix}}\)
i macierz uzupełnioną:
\(\displaystyle{ U=\begin{bmatrix} 0&1&-3&-2&0\\1&-2&0&1&-2\\3&-5&-1&0&9\end{bmatrix}}\)
Ale dalej nie wiem co mam zrobić, nie wiem za bardzo jak się liczy macierze prostokątne.
Może jakaś pomoc?

[Afish]

Musisz policzyć rząd macierzy. Pytanie pierwsze - wiesz co to jest? Jeżeli tak, to oblicz go albo licząc wyznaczniki podmacierzy, albo zastosuj metodę Gaussa. Potem jedziesz tak, jak napisałem w poprzednim poście.

[kod3r]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&1&-3\\1&-2&0\\3&-5&-1\end{bmatrix} \neq 0}\) więc rząd macierzy \(\displaystyle{ A = 3}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}-3&-2&0\\0&1&-2\\-1&0&9\end{bmatrix} \neq 0}\) więc rząd macierzy \(\displaystyle{ U = 3}\)


Rząd w macierzy A jak i macierzy U wynosi 3 więc możemy korzystać ze wzorów Cramer'a.

Mamy taki układ.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{2}-3x_{3}-2x_{4}=0\\x_{1}-2x_{2}+x_{4}=-2\\3x_{1}-5x_{2}-x_{3}=9 \end{array}}\)

Przenosimy \(\displaystyle{ x_{4}}\) na prawo ponieważ są liniowo zależne.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x_{2}-3x_{3}=0+2x_{4}\\x_{1}-2x_{2}=-2-x_{4}\\3x_{1}-5x_{2}-x_{3}=9 \end{array}}\)

I teraz Cramer :].