Kombinacja liniowa - podstawy

fyplosh · Post autor: **fyplosh** » 5 gru 2010, o 22:48

Mam niebezpodstawne obawy iż to zadanie nie ma rozwiązania, lecz gdy sam je rozwiazuję - odpowiedź jest.

czy dane zadanie ma rozwiązanie?

Zapisz wektor \(\displaystyle{ v = (2, -5, 3)}\) jako kombinację liniową \(\displaystyle{ u_1 = (1, -3, 2), \ u_2 = (2, -4, -1), \ u_3 = (1, 5, 7)}\)
Z góry dziękuję.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 5 gru 2010, o 22:53

Sprawdź liniową niezależność wektorów \(\displaystyle{ u_1, u_2, u_3}\)

fyplosh · Post autor: **fyplosh** » 5 gru 2010, o 22:56

Yhh.. liczyłem na gotowe rozwiązanie. Ale dobra. Czas teraz nauczyć się co to jest liniowa niezależność.

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 5 gru 2010, o 23:04

Tworzysz macierz 3x3 z podanych współrzędnych wektorów, których liniową niezależność badasz. Sprawdzasz wartośc wyznacznika takiej macierzy. Co zrobić z wynikiem i jaki wniosek końcowy to już zachęcam do poszukiwań (niezbyt skomplikowanych)

fyplosh · Post autor: **fyplosh** » 5 gru 2010, o 23:16

https://www.matematyka.pl/16455.htm

Użyłem tego sposobu, wyszło, że wektory są liniowo niezależne.
Tylko co teraz z tym fantem? Matko. Tak to jest jak zaczyna się uczyć 3 dni przed kolosem..

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 5 gru 2010, o 23:21

Skoro 3 wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) są liniowo niezależne to tworzą bazę w tej przestrzeni. A jaką własność ma baza w stosunku do dowolnego wektora należącego do tej przestrzeni (w tym przypadku wektora v)?

fyplosh · Post autor: **fyplosh** » 5 gru 2010, o 23:29

Zbiór wektorów B ⊆ V jest bazą, gdy spełnione są następujące warunki:

1. wektory w B są liniowo niezależne.
2. zbiór B generuje całą przestrzeń V, tzn. dowolny wektor y z przestrzeni V można przedstawić za pomocą kombinacji liniowej wektorów ze zbioru B.

Wnioskuje więc, że rozwiązania są. Zgadza się?

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 6 gru 2010, o 00:10

tak. Można dodatkowo ułożyć układ 3 równań z trzema niewiadomymi a,b,c dającymi rozwiązanie:
\(\displaystyle{ v=au_1 +bu_2+cu_3}\)

p.s. jeszcze jako ciekawostke dodam, że MOGŁABY zdarzyć się taka sytuacja w której wektory \(\displaystyle{ u_1, u_2,u_3}\) nie byłyby liniowo niezależne a i tak mogłaby istnieć kombinacja liniowa dla v. Oczywiscie nie zawsze tak jest, ale taki przykład dałoby się ułożyc. Gdyby tak było w tym zadaniu to trochę skomplikowałoby się (ewentualne) rozwiązanie

JankoS · Post autor: **JankoS** » 6 gru 2010, o 01:23

\(\displaystyle{ (2, -5, 3)=a (1, -3, 2)+b (2, -4, -1)+c (1, 5, 7) \Leftrightarrow \begin{cases} a+2b+c=2 \\ -3a-4b+5c=-5\\2a-b+7c=3 \end{cases}}\).
Układ jest oznaczony.

fyplosh · Post autor: **fyplosh** » 6 gru 2010, o 17:12

Dziękuję za odpowiedzi, już wczoraj doszedłem do rozwiązania, teraz mam problem z innym..

Znajdź równanie hiperpłaszczyzny w R4 przechodzącej przez punkt P(3, -4, 1, -2) i jest normalna do u = (2, 5, -6, 3).

Inkwizytor · Post autor: **Inkwizytor** » 6 gru 2010, o 22:01

Ja bym zrobił na zasadzie analogii do płaszczyzny w \(\displaystyle{ R^3}\) np.: