Podać przykłady baz.

[tometomek91]

Dla wskazanych przestrzeni liniowych podać przyklady baz:
\(\displaystyle{ a)\ V= \{q \in R_5 [x]\ :\ \text{wielomian q jest funkcja nieparzystą} \}\\
b)\ V= \{q \in R[x]\ :\ q(1)=0 \}}\).

[Qń]

Jeśli przez \(\displaystyle{ R_5[x]}\) rozumiesz wielomiany stopnia mniejszego niż pięć, to w a) : \(\displaystyle{ (x,x^3)}\). Wynika to z tego, że:
\(\displaystyle{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \in V \Rightarrow 2(ax^4+cx^2+e)=0 \Rightarrow a=c=e=0}\)

Natomiast w b) : \(\displaystyle{ (x-1)^k}\), \(\displaystyle{ k=1,2,3, \dots}\)

Q.

[tometomek91]

\(\displaystyle{ ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \in V \Rightarrow 2(ax^4+cx^2+e)=0}\)

hmm, nie rozumiem dlaczego tam jest dwójka przed nawiasem..

A czy można to jakoś pokazać, że ten zbiór jest bazą, np. przez sprawdzenie liniowej niezależności i tego, że wektory z bazy rozpinaja całą przestrzeń V?
Z góry dziękuję za odpowiedź.

[Qń]

No to po kolei.
\(\displaystyle{ W(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e \in V \Rightarrow W(x)=-W(-x) \Rightarrow \\ \Rightarrow
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e = -ax^4+bx^3-cx^2+dx-e \Rightarrow \\ \Rightarrow
ax^4+cx^2+e = -ax^4-cx^2-e \Rightarrow \\ \Rightarrow 2(ax^4+cx^2+e)=0 \Rightarrow a=c=e=0 \Rightarrow W(x)=bx^3+cx}\)
A z tej postaci widać po pierwsze, że \(\displaystyle{ x^3,x}\) rozpinają przestrzeń \(\displaystyle{ V}\), a po drugie oczywiste jest, że te dwa wektory (wielomiany) są liniowo niezależne. Tworzą więc bazę \(\displaystyle{ V}\).

Q.

[tometomek91]

Dzięki bardzo