Przekształcenie liniowe, przy znanym przyporządkowaniu

[Ctrene]

Znając przyporządkowanie mam wyznaczyć przekształcenie:
\(\displaystyle{ \left[3,1,1 \right] \rightarrow \left[ 4,7\right];\left[ 0,1,3\right] \rightarrow \left[ 5,11\right];\left[ 2,1,1\right] \rightarrow \left[ 1,0\right]}\). Próbowałem metodą prób błędów, ale bez skutku. Ktoś pomoże?

[szw1710]

Jest twierdzenie o określaniu przekształceń liniowych mówiące, że wystarczy znać wartości na bazie, aby znać całe odwzorowanie. Sprawdź czy te 3 wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) są liniowo niezależne, a więc czy tworzą bazę. Wtedy określasz dla dowolnego wektora \(\displaystyle{ w}\) będącego (jednoznaczną) kombinacją wektorów bazowych \(\displaystyle{ u_1,u_2,u_3}\), tj.

\(\displaystyle{ w=\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3,}\)

szukane odwzorowanie jako

\(\displaystyle{ f(\alpha_1u_1+\alpha_2u_2+\alpha_3u_3)=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3}\)

gdzie \(\displaystyle{ v_1,v_2,v_3}\) to te 3 wektory w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\)

Czyli dowolny wektor \(\displaystyle{ w\in\mathbb{R}^3}\) musisz przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów bazowych \(\displaystyle{ u_1,u_3,u_3}\), co otrzymujesz rozwiązując układ 3 równań z trzema niewiadomymi.

[Hadar]

Kurde nie bardzo czaję... Mógłby ktoś napisać w bardziej łopatologiczny sposób co należy zrobić?

Z góry dziękuję...