Wymiar przestrzeni R nad ciałem Q

[Astat]

Należy podać wymiar \(\displaystyle{ dim _{\mathbb{Q}}\mathbb{R}}\)

Ponieważ moc \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) wynosi \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\), a moc \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) continuum, więc w bazie \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\) nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) mamy nieprzeliczalnie wiele wektorów. Zatem byłaby to przestrzeń nieskończeniewymiarowa.
Czy się mylę? Jak to formalnie zapisać?

[Spektralny]

Dokładniej, \(\displaystyle{ \dim_{\mathbb{Q}}\mathbb{R} = \mathfrak{c}}\).

Ustalmy bazę Hamela \(\displaystyle{ H}\) zbioru liczb rzeczywistych jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\). Istotnie, każdy element \(\displaystyle{ r\in \mathbb{R}}\) można zapisać jako kombinację liniową skończenie wielu liczb z \(\displaystyle{ H}\) o współczynnikach wymiernych. Mamy więc

\(\displaystyle{ \mathbb{R} = \{ h_1+\ldots+h_n\colon h_i \in \mathbb{Q}\cdot H, i\leqslant n, n\in\mathbb{N}\}}\).

Zauważmy, że \(\displaystyle{ |\mathbb{Q}\cdot H| = |H|}\) oraz

\(\displaystyle{ |\{ h_1+\ldots+h_n\colon h_i \in \mathbb{Q}\cdot H, i\leqslant n, n\in\mathbb{N}\}|\leqslant |[H]^{<\aleph_0}|=|H|}\)

więc musi być \(\displaystyle{ |H|=\mathfrak{c}}\).

Powyżej, symbol \(\displaystyle{ [H]^{<\aleph_0}}\) oznacza rodzinę wszystkich skończonych podzbiorów \(\displaystyle{ H}\).