Podprzestrzeń wektorowa zbioru wielomianów czwartego stopnia

[wojtasskorcz]

Zbadaj czy zbiór
\(\displaystyle{ V = \left\{ p \in \mathbb{R}_{4}\left[ x\right] : p(2x) = 4xp'(x) + p(0) \right\}}\)
jest podprzestrzenią wektorową przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}_{4}\left[ x\right]}\). Jeśli tak, to znajdź bazę i wymiar \(\displaystyle{ V}\).

Na razie doszedłem po przekształceniach do czegoś takiego:
\(\displaystyle{ x(4bx^2 + 4cx + 2d) = 0}\)
gdzie wielomian \(\displaystyle{ p(x)}\) mam zdefiniowany jako \(\displaystyle{ p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e}\). I teraz nie wiem jak to dalej ruszyć. Próbowałem wyliczać miejsca zerowe tego, ale nie wiem do czego by mi to miało służyć. Liczę na Waszą pomoc.

[Afish]

Wydaje mi się, że to będzie tak:
\(\displaystyle{ p(2x) = 4x\cdot(4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d) + p(0) = 16ax^4 + 12bx^3 + 8cx^2 + 4dx + p(0)}\)
Równocześnie
\(\displaystyle{ p(2x) = a(2x)^4 + b(2x)^3 + c(2x)^2 + d(2x) + e =\\
= 16ax^4 + 8bx^3 + 4cx^2 + 2dx + e\\
p(0) = e}\)
Jeżeli przyrównamy to do siebie, to stwierdzimy, że aby równość zachodziła, musi być:
\(\displaystyle{ b=0\\c=0\\d=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ V = \left\{ p \in \mathbb{R}_{4}\left[ x\right] : ax^4 + e, a,e\in \mathbb{R} \right\}}\)

[wojtasskorcz]

Ok, to lepiej się nie będę przyznawał, że nie zauważyłem tego w moich wyliczeniach, po dojściu do postaci:
\(\displaystyle{ x(4bx^2 + 4cx + 2d) = 0}\)
z tego też w sumie widać, że
\(\displaystyle{ b = 0 \\
c = 0\\
d = 0}\)
jeżeli równanie ma być spełnione dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in \mathbb{R}}\).