Przestrzenie wektorowe

[Matematyk111]

1. Niech \(\displaystyle{ U, V}\) będą podprzestrzeniami przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\). Pokazac, że \(\displaystyle{ X = U \cup V \Rightarrow ( X = U \vee X = V)}\).

2. Pokazać, że \(\displaystyle{ Z}\) ze zwykłym dodawaniem nie jest przestrzenią wektorową nad żadnym ciałem.-- 28 lis 2010, o 12:05 --Moje rozumowanie pierwszego zadania:
\(\displaystyle{ X = U \cup V}\) Zatem jeśli wektory \(\displaystyle{ u,v \in U \cup V}\), to z tego wynika , że \(\displaystyle{ u,v \in U \vee u,v \in V}\) Wiemy, że \(\displaystyle{ U,V}\) są podprzestrzeniami zatem \(\displaystyle{ u+v \in U}\) Ale \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią wektorową, wiec \(\displaystyle{ u+v \in X}\) I tak z każdymi wektorami z U, bo \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) Zatem w tym przypadku \(\displaystyle{ X =U}\). Podobnie z \(\displaystyle{ V}\). Czy dobrze to jest?

2 zadanie.
Moje przemyślenia:
Wiemy, że zbiór \(\displaystyle{ Z}\) z dodawaniem i mnożeniem nie jest ciałem. Mamy pokazać, że \(\displaystyle{ Z}\) nie jest przestrzenią wektorową nad żadnym ciałem. Myśle, że trzeba pokazać, że nie znajdziemy takiego \(\displaystyle{ \alpha \in P}\), gdzie \(\displaystyle{ P}\)- ciało, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in Z}\) \(\displaystyle{ \alpha x \in Z}\) Tylko tu nie bardzo wiem jak to zrobić :/