wyznacznik macierzy

[alfgordon]

\(\displaystyle{ detA=\begin{vmatrix} b&a&a&...&a\\a&b&a&...&a\\a&a&b&...&a\\...&...&...&...&...\\a&a&a&...&b\end{vmatrix}}\)

jaki jest wyznacznik takiej macierzy?

rozpisywałem sobie macierze '3 na 3' i '4 na 4' i wydaje mi się że wyznacznik tej głównej macierzy powinien wyglądać:

\(\displaystyle{ detA=(b-na)(b-a)^n}\)

gdzie \(\displaystyle{ n}\) to ilość liczb \(\displaystyle{ a}\)

[Qń]

Wyznacznik to \(\displaystyle{ \det A =(b-a)^{n-1}\cdot (b+(n-1)a)}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) to wymiar macierzy \(\displaystyle{ A}\) (tak chyba jest naturalniej oznaczyć). Czyli prawie tak jak napisałeś.

Dowód - dodawanie i odejmowanie wierszy i kolumn od siebie nie zmienia wartości wyznacznika. Odejmijmy pierwszy wiersz od wszystkich pozostałych, dostaniemy:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
b&a&a&...&a\\
a-b&b-a&0&...&0\\
a-b&0&b-a&...&0\\
...&...&...&...&...\\
a-b&0&0&...&b-a\end{vmatrix}}\)

Dodajmy teraz kolumny drugą, trzecią, ... , \(\displaystyle{ n}\)-tą od pierwszej, dostaniemy:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
b+(n-1)a&a&a&...&a\\
0&b-a&0&...&0\\
0&0&b-a&...&0\\
...&...&...&...&...\\
0&0&0&...&b-a\end{vmatrix}}\)

To już jest macierz trójkątna, więc jej wyznacznik to iloczyn liczb na przekątnej.

Q.

[alfgordon]

dokładnie tak samo rozpisywałem i mam na kartce tak jak ty tzn : \(\displaystyle{ detA=(b+na)(b-a)^n}\)
tylko tu zapewne źle wpisałem,

Dzięki za sprawdzenie