Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie macierzą taką,że \(\displaystyle{ A^n=0}\), dla pewnego \(\displaystyle{ n \in N}\). Pokazać, że:
\(\displaystyle{ (I-A)^{-1}=I+A+A^2+...+A^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ I}\) - macierz jednostkowa.
Pokazać, że zachodzi tożsamość dla macierzy
-
hubertwojtowicz
- Użytkownik
- Posty: 269
- Rejestracja: 29 wrz 2008, o 16:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa\Słupsk
- Podziękował: 59 razy
- Pomógł: 32 razy
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Pokazać, że zachodzi tożsamość dla macierzy
Macierz odwrotna do \(\displaystyle{ B}\) to taka macierz \(\displaystyle{ C}\), że \(\displaystyle{ BC=I}\).
Tak więc żeby pokazać, że macierzą odwrotną do \(\displaystyle{ I-A}\) jest \(\displaystyle{ I+A+A^2+...+A^{n-1}}\), musisz dowieść, że \(\displaystyle{ (I-A)(I+A+A^2+...+A^{n-1})=I}\). W tym celu wystarczy wymnożyć to co jest po lewej stronie.
Q.
Tak więc żeby pokazać, że macierzą odwrotną do \(\displaystyle{ I-A}\) jest \(\displaystyle{ I+A+A^2+...+A^{n-1}}\), musisz dowieść, że \(\displaystyle{ (I-A)(I+A+A^2+...+A^{n-1})=I}\). W tym celu wystarczy wymnożyć to co jest po lewej stronie.
Q.