Wyznacznik macierzy - rozwinięcie La Place'a

[adimas10]

Tak jak w tytule potrzebuje obliczyć wyznacznik tej macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 0&0&0&0&...&0&1\\0&0&0&0&...&1&0\\...&...&...&...&...&...&...\\0&0&1&0&..&.0&0\\0&1&0&0&...&0&0\\1&0&0&0&...&0&0\end{bmatrix}}\)

jutro mam kolokwium z macierzy i niestety mam jeszcze pare wątpliwości także mam nadzieje, że ktoś mi pomoże je rozwiać, z góry dzięki.

[alfgordon]

tak na szybko,

to jak będziesz liczył tą metodą to wyznacznik nie będzie równy:

\(\displaystyle{ detA=1 \cdot (-1)^n \cdot 1 \cdot (-1)^{n-1} \cdot (-1)^{n-2} \cdot ... \cdot (-1)^1 = (-1)^{n+(n-1)+(n-2)+...+1}=(-1)^ \frac{n(n+1)}{2}}\)

[adimas10]

wynik się zgadza więc wielkie dzięki:P byłbym jeszcze wdzięczny jakbyś choć po krótce mógł wytłumaczyć to rozwiązanie

a konkretniej skąd te n w potędze, bo reszte kapuje tradycyjnie czynnik razy dopełnienie;d

[alfgordon]

liczyłem względem kolumn... a nie wiadomo ile jest tych zer.. więc przyjmij że jest ich n

i jeszcze w każdej kolumnie jest jedynka.. więc tych wszystkich elementów jest 'n+1'

ale jak liczysz tym rozwinięciem laplace'a to oczywiście 'skreślasz' wiersz i kolumnę więc więc zostaje wyznacznik o wymiarach 'n' na 'n'

[adimas10]

czyli założyłeś że początkowa macierz ma wymiary n+1 na n+1 tak? jeżeli tak to czy nie można założyć że ma ona wymiary nxn?

i jeszcze jedno pytanie:

\(\displaystyle{ detA=1 \cdot (-1)^n \cdot ...}\)

to dopełnienie tyczy się której kolumny lub wiersza, mówiąc inaczej który wiersz i kolumna została by usunięta?

Przypuśćmy, że usuwam najpierw pierwszą kolumnę i ostatni wiersz czy wtedy powinienem zacząć?
\(\displaystyle{ detA=1 \cdot (-1)^{1+n} \cdot ...}\)

[alfgordon]

można przyjąć że macierz jest wymiarów n na n

i wtedy \(\displaystyle{ detA=(-1)^ \frac{(n-1)n}{2}}\)

ja rozpisywałem względem kolumn.. tzn 1 kolumna, 2,.. itd (czyli 'wykreślałem' 1 kolumnę i ostatni wiersz, itd)

jeżeli przyjąłeś macierz n na n to po usunięciu wiersza i kolumny zmniejszy ci się wymiar macierzy...

czyli będziesz miał : \(\displaystyle{ detA=1 \cdot (-1)^{n-1} \cdot ...}\)

[adimas10]

ok już rozumiem, dzięki wielkie za pomoc i wytrwałość:P