Mam problem z dwoma zadaniami z algebry liniowej. Byłbym wdzięczny za wskazówki jak rozwiązać.
Pierwsze dotyczy bazy:
Mam udowodnić, że dla ustalonych \(\displaystyle{ t _{1}, t _{2}, ..., t _{n}}\) i wielomianów \(\displaystyle{ l _{1}, l _{2}, ..., l _{n}}\) zdefiniowanych następująco: \(\displaystyle{ l _{i}\left( t\right) = \prod_{i \neq j = 1}^{n} \frac{t - t _{j} }{t _{i} - t _{j} } \left( l _{1}, l _{2}, ..., l _{n}\right)}\) jest bazą przestrzeni \(\displaystyle{ P ^{n} _{| R}}\), gdzie \(\displaystyle{ P ^{n} _{| R}}\) jest przestrzenią wielomianów o stopniu co najwyżej \(\displaystyle{ n}\).
Myślałem, żeby zrobić to indukcyjnie po \(\displaystyle{ n}\), ale to trudne jest.
Drugie zadanie polega wykazaniu, że zbiór \(\displaystyle{ W _{A} = \left\{ B \in K ^{n m} : B * A = I _n \right\}}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in K ^ {m n}}\) i \(\displaystyle{ rz\left( A\right) = n}\).
\(\displaystyle{ rz\left( A\right)}\) oznacza rząd macierzy \(\displaystyle{ A}\). Mam podać też wymiar \(\displaystyle{ dim\left( W _{A}\right)}\)-- 25 lis 2010, o 14:43 --Pierwsze zadanie już rozwiązałem (tak myślę). Zostało jeszcze to drugie.
Widzę, że nie dokończyłem pisać tam treść .
Należy wykazać, że \(\displaystyle{ W _{A}}\) jest warstwą w \(\displaystyle{ K ^{n, m}}\)