znajdz baze przestrzeni

[gandalfborland]

Znalezc baze podprzestrzeni\(\displaystyle{ (X,R,+,*)}\)przestrzeni \(\displaystyle{ (R^4,R,+,*)}\) jesli X jest zbiorem wektorów spelniajacym warunki:
\(\displaystyle{ 3x_1-2x_2+4x_3+x_4=0}\) i \(\displaystyle{ x_1+x_2-3x_3-2x_4=0}\)

[jeyw]

na poczatek weź przekształcenie:
\(\displaystyle{ F\left(\begin{array}{ccc}x_{1}
\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}+x_{4}
\\x_{1}+x_{2}-3x_{3}-2x_{4}\end{array}\right)}\)
trzeba pokazać ze \(\displaystyle{ dim(Im(F))=2}\)
no to wystarczy znależć 2 liniowo niezależne wektory \(\displaystyle{ U, V {\in}{R^{4}}}\) takie, że \(\displaystyle{ Lin((F(U),F(V))=Im(F)}\)
wystarczy wziąść \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}1
\\0\\0\\0\end{array}\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}0
\\1\\0\\0\end{array}\right)}\)
to jak mamy już, że obraz ma wymiar 2 to z twierdzenia o indeksie (chyba tak się ono nazywało) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ dim(Ker(F))=dim(R^{4})-dim(Im(F))=4-2=2}\)
To teraz wiemy, że baza tej naszej poprzestrzeni ma wymiar 2.
A wszystko to po to aby móc powiedzieć ile elementów posiada baza.Często to można zrobić od ręki, tzn. widać to od razu i nie trzeba się paprać w żadne twierdzenia o indeksie
Wystarczy znależć 2 liniowo niezależne wektory, które będą stanowić bazę jądra przekształcenia F, a jednocześnie bazę przestrzeni \(\displaystyle{ X}\). np wektory: \(\displaystyle{ \left(\begin{array}{ccc}5
\\0\\-7\\13\end{array}\right), ft(\begin{array}{ccc}0
\\5\\3\\-2\end{array}\right)}\)Żeby je znależc ustalam najpierw \(\displaystyle{ x_{1}=5, x_{2}=0}\) i rozwiązuje układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ x_{3}, x_{4}}\), to mam już pierwszy wektor, żeby znależć drugi postępuje się analogicznie

[liu]

Hmm? Po co takie dzikie rozkminy? Rozwiazuje sie jeden uklad rownan liniowych i odczytuje z rozwiazania ogolnego baze...