Równanie macierzowe z 2-ema niewiadomymi

[Robson1416]

Witajcie, mam taki problem. Nie wiem jak się za to zabrać:

\(\displaystyle{ 2X + 3Y = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]}\)

Proszę o pomoc i rozwiązanie przykładu.

[rtuszyns]

Weźmy macierze niezerowe \(\displaystyle{ X, Y}\) odpowiednio postaci:
\(\displaystyle{ X=[a_{ij}]_{2\times 2}}\),
\(\displaystyle{ Y=[b_{ij}]_{2\times 2}}\),
gdzie
\(\displaystyle{ a_{ij},b_{ij} \in {\mathbb {R}}}\)
Mamy zatem
\(\displaystyle{ 2[a_{ij}]+3[b_{ij}]=I_{2\times 2}}\),
gdzie
\(\displaystyle{ I_{2 \times 2}}\) oznacza macierz jednostkową \(\displaystyle{ 2 \times 2}\).
Wykonując działania otrzymujemy równość dwóch macierzy:
\(\displaystyle{ \left(
\begin{array}{cc}
2a_{11}+3b_{11}&2a_{12}+3b_{12}\\
2a_{21}+3b_{21}&2a_{22}+3b_{22}
\end{array}\right)
=\left(
\begin{array}{cc}
1&0\\
0&1
\end{array}\right)}\)

Otrzymujemy zatem układ czterech równań z ośmioma niewiadomymi. Wyznaczmy elementy macierzy \(\displaystyle{ Y}\) w zależności od elementów macierzy \(\displaystyle{ X}\).
Dostajemy więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
b_{11}=\frac{1-2a_{11}}{3}\\
b_{12}=\frac{-2a_{12}}{3}\\
b_{21}=\frac{-2a_{21}}{3}\\
b_{22}=\frac{1-2a_{22}}{3}
\end{cases}}\)
Można więc dla dowolnej niezerowej macierzy
\(\displaystyle{ X=[a_{ij}]_{2\times 2}}\) dobrać macierz
\(\displaystyle{ Y}\) postaci:
\(\displaystyle{ Y=\left(
\begin{array}{cc}
\frac{1-2a_{11}}{3}&\frac{-2a_{12}}{3}\\
\frac{-2a_{21}}{3}&\frac{1-2a_{22}}{3}
\end{array}\right)}\)
tak aby spełnione było równanie
\(\displaystyle{ 2X+3Y=I}\).

[Robson1416]

\(\displaystyle{ X + Y = \left[\begin{array}{ccc}1&1\\1&0\end{array}\right]}\)
Biore 2 macierze nie zerowe

\(\displaystyle{ X=[a_{ij}]_{2\times 2}}\)
\(\displaystyle{ Y=[b_{ij}]_{2\times 2}}\)

\(\displaystyle{ 2[a_{ij}]+3[b_{ij}]=A_{2\times 2}}\)
gdzie
\(\displaystyle{ A_{2 \times 2}}\) oznacza zadaną macierz

\(\displaystyle{ \left(\begin{array}{cc}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\
a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\
1&0\end{array}\right)}\)

Ukłąd równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} b_{11}=1 - a_{11}\\b_{12}=1 - a_{12}\\
b_{21}=1 - a_{21}\\b_{22}=1 - a_{22} \end{cases}}\)

Wybieram dowolną macierz X, np.

\(\displaystyle{ X = \left[\begin{array}{ccc}2&2\\2&0\end{array}\right]}\)

Po przeliczeniu 2-ga macierz Y:

\(\displaystyle{ Y = \left[\begin{array}{ccc}-1&-1\\-1&1\end{array}\right]}\)

Co daje nam wynik końcowy prawidłowy. Proszę o sprawdzenie czy jest dobrze. Dziękuje