czy istnieje baza w ktorej dane wektory maja dane wsp

[Wujcio]

Prosze o pomoc

Czy istnieje baza w \(\displaystyle{ R ^{3}}\) , w której wektory \(\displaystyle{ (1,-1,0),(2,1,0) \in R ^{3}}\) mają współrzędne \(\displaystyle{ (1,1,1),(2,1,2)}\)

[Ciamolek]

Hej, muszę przyznać, że sam nie mam pojęcia - kilka dni temu miałem to na wykładach i jeszcze nie zdążyłem tym nasiąknąć.

Ale wydaje mi się, że istnieje: (zakładam, że pierwsze dwa wektory są standardowe x,y,z [i,j,k])

O ile dobrze rozumiem temat, potrzebujemy:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\-1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\1\\1\end{bmatrix}}\)
Podobnie:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2\\1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\1\\2\end{bmatrix}}\)

To po 'wymnożeniu' da Ci kilka równań i otrzymasz:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&c\\ \frac{2}{3} & \frac{-1}{3} &f\\1&0&i\end{bmatrix}}\)

Co sugeruje, że jeśli \(\displaystyle{ c \neq i}\) to otrzymasz potrzebną bazę.
Jeśli jestem w błędzie, miejmy nadzieję, że zawita tutaj ktoś o większej wiedzy i nam wytłumaczy.

Uwaga:
\(\displaystyle{ \forall}\) zdań, \(\displaystyle{ z \exists}\) wysokie prawdopodobieństwo, \(\displaystyle{ p : z=0}\)

Pozdrawiam,
Ciamolek

Edit:
Czuję, że jednak coś namieszałem... jeśli w ogóle ma to jakikolwiek sens, to na końcu bierzesz kolumny tej ostatniej macierzy i dobierasz c,f,i dowolne (żeby miało sens).