Mam takie zadanko nt. podprzestrzeni generowanych w przestrzenii wektorowej:
Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią wektorową, \(\displaystyle{ A,B \subset V, W}\) - podprzestrzeń \(\displaystyle{ V}\). Dowieść, że:
\(\displaystyle{ a) A \subset \mathcal{L}(A) \\
b) A \subset W \Rightarrow \mathcal{L}(A) \subset W \\
c) \mathcal{L}(A) = W}\)
Kombinowałem co nieco i zdołałem zrobić a ale jestem mocno niepewny rozwiązań (bo chyba nie do końca rozumiem cały temat p.wektorowych), dlatego prosiłbym kogoś ogarniętego o rzut okiem:
a)
\(\displaystyle{ \mathcal{L}(A) = \bigcap_{A \subset U<V}^{} U \\
x \in \mathcal{L}(A) \Rightarrow x \in \bigcap_{A \subset U<V}^{} U}\)
Więc, przekształcając prawą stronę (gdzie \(\displaystyle{ U_{t}}\) to kolejne podprzestrzenie przestrzeni \(\displaystyle{ V}\):
\(\displaystyle{ x \in U_{t}, t \in T \\
x \in A \\
x \in \mathcal{L}(A) \Rightarrow x \in A}\)
Wobec czego: \(\displaystyle{ A \subset \mathcal{L}(A)}\), czego należało dowieść.
Czy o tego typu dowód chodziło? Czy przy podprzestrzeniach w ogóle mogę przejść na elementy zbiorów, tak jak zrobiłem to powyżej? Jeśli tak, to B chyba też wiem jak zrobić, za to co do C kompletnie bez pomysłu.
Proszę o pomoc, pozdro.