Liniowa zależność wektorów
-
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Liniowa zależność wektorów
Są zależne gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} kx=-3 \\ kx^2=9 \end{cases}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} kx=-3 \\ kx^2=9 \end{cases}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\mathbb{R}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Liniowa zależność wektorów
Wektory są liniowo zależne jak różnią się skalarem tzn po przemnożeniu jednego przez liczbę dostaniemy drugi. I wyżej porównujemy współrzędne drugiego wektora i pierwszego pomnożonego przez liczbę \(\displaystyle{ k}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Liniowa zależność wektorów
A gdybyśmy zrobili na odwrót, to znaczy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3k \\ x^2=9k \end{cases}}\)
to też bedzie dobrze?
I jeszcze pytanie na marginesie: jeśli wektory są liniowo zależne jest identycznym stwierdzeniem z tym, że sa współliniowe? Czyli, że leża na jednej linii (mają więc ten sam kierunek, choć mogą mieć przeciwne zwroty) ?
Dobrze myślę?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3k \\ x^2=9k \end{cases}}\)
to też bedzie dobrze?
I jeszcze pytanie na marginesie: jeśli wektory są liniowo zależne jest identycznym stwierdzeniem z tym, że sa współliniowe? Czyli, że leża na jednej linii (mają więc ten sam kierunek, choć mogą mieć przeciwne zwroty) ?
Dobrze myślę?
-
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Liniowa zależność wektorów
Nie jest to identyczne stwierdzenie ale drugie wynika z pierwszego.
Wektory liniowo zależne nie muszą leżeć na jednej prostej, ale na pewno leżą na prostych do siebie równoległych.
Wektory liniowo zależne nie muszą leżeć na jednej prostej, ale na pewno leżą na prostych do siebie równoległych.
-
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Liniowa zależność wektorów
Kombinacja liniowa wektorów liniowo niezależnych jest zerowa.
\(\displaystyle{ ZAWSZE!!}\)
Jeśli jest niezerowa to wektory są liniowo zależne.
\(\displaystyle{ ZAWSZE!!}\)
Jeśli jest niezerowa to wektory są liniowo zależne.
-
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Liniowa zależność wektorów
No to patrz:
Masz wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\) ich kombinacja liniowa to:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\)
Jeśli są one liniowo zależne to np. \(\displaystyle{ \vec{a} =k\cdot \vec{b}}\), czyli kombinacja wygląda:
\(\displaystyle{ k_1(k\vec{b}) + k_2\vec{b} = 0}\) wtedy \(\displaystyle{ (k_1\cdot k + k_2)\vec{b} = 0}\), przypadki wektorów zerowych odrzucamy, czyli mamy \(\displaystyle{ k_1\cdot k + k_2=0}\) i na pewno znajdziemy niezerowe liczby które to spełniają zatem kombinacja nie jest zerowa.
Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbując to rozwiązać dochodzimy do tego, że wektory są zależne:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza właśnie liniową zależność.
Masz wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\) ich kombinacja liniowa to:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\)
Jeśli są one liniowo zależne to np. \(\displaystyle{ \vec{a} =k\cdot \vec{b}}\), czyli kombinacja wygląda:
\(\displaystyle{ k_1(k\vec{b}) + k_2\vec{b} = 0}\) wtedy \(\displaystyle{ (k_1\cdot k + k_2)\vec{b} = 0}\), przypadki wektorów zerowych odrzucamy, czyli mamy \(\displaystyle{ k_1\cdot k + k_2=0}\) i na pewno znajdziemy niezerowe liczby które to spełniają zatem kombinacja nie jest zerowa.
Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbując to rozwiązać dochodzimy do tego, że wektory są zależne:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza właśnie liniową zależność.
-
- Użytkownik
- Posty: 1023
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:45
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 72 razy
- Pomógł: 15 razy
Liniowa zależność wektorów
Na początku piszesz że sa liniowo niezależne, a potem że sa liniowo zalezne. Nie czaje :/matmi pisze:Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbując to rozwiązać dochodzimy do tego, że wektory są zależne:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza właśnie liniową zależność.
-
- Użytkownik
- Posty: 388
- Rejestracja: 14 lis 2010, o 19:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 40 razy
Liniowa zależność wektorów
Ok..
Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbujemy to rozwiązać:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\), \(\displaystyle{ k_1\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza liniową zależność.
Zatem nie mogliśmy założyć, że \(\displaystyle{ k_1\neq 0}\), stąd \(\displaystyle{ k_1= 0}\).
A skoro tak, to \(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\) przybiera postać:
\(\displaystyle{ k_2\vec{b} = 0}\) i skoro \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest niezerowy to \(\displaystyle{ k_2=0}\), czyli\(\displaystyle{ k_1=k_2=0 \Rightarrow}\) kombinacja zerowa
Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbujemy to rozwiązać:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\), \(\displaystyle{ k_1\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza liniową zależność.
Zatem nie mogliśmy założyć, że \(\displaystyle{ k_1\neq 0}\), stąd \(\displaystyle{ k_1= 0}\).
A skoro tak, to \(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\) przybiera postać:
\(\displaystyle{ k_2\vec{b} = 0}\) i skoro \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest niezerowy to \(\displaystyle{ k_2=0}\), czyli\(\displaystyle{ k_1=k_2=0 \Rightarrow}\) kombinacja zerowa