Liniowa zależność wektorów

[MakCis]

Dla jakich x wektory \(\displaystyle{ [x, x^2] , [-3,9]}\) są liniowo zależne?

[matmi]

Są zależne gdy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} kx=-3 \\ kx^2=9 \end{cases}}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k\in\mathbb{R}}\)

[MakCis]

Mógłbym poprosić o drobne wyjaśnienie? Nie za bardzo rozumiem skąd to się bierze

[matmi]

Wektory są liniowo zależne jak różnią się skalarem tzn po przemnożeniu jednego przez liczbę dostaniemy drugi. I wyżej porównujemy współrzędne drugiego wektora i pierwszego pomnożonego przez liczbę \(\displaystyle{ k}\).

[MakCis]

A gdybyśmy zrobili na odwrót, to znaczy
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3k \\ x^2=9k \end{cases}}\)
to też bedzie dobrze?

I jeszcze pytanie na marginesie: jeśli wektory są liniowo zależne jest identycznym stwierdzeniem z tym, że sa współliniowe? Czyli, że leża na jednej linii (mają więc ten sam kierunek, choć mogą mieć przeciwne zwroty) ?

Dobrze myślę?

[matmi]

Nie jest to identyczne stwierdzenie ale drugie wynika z pierwszego.
Wektory liniowo zależne nie muszą leżeć na jednej prostej, ale na pewno leżą na prostych do siebie równoległych.

[MakCis]

A jak to jest z kombinacją liniową wektorów? Czy ma to jakiś związek z liniową zaleznością? Czy jest zupełnie czym innym?

[matmi]

Kombinacja liniowa wektorów liniowo niezależnych jest zerowa.
\(\displaystyle{ ZAWSZE!!}\)
Jeśli jest niezerowa to wektory są liniowo zależne.

[MakCis]

A dlaczego tak się dzieje? Właśnie nie mogę tego zrozumieć

[matmi]

No to patrz:
Masz wektory \(\displaystyle{ \vec{a}, \vec{b}}\) ich kombinacja liniowa to:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\)
Jeśli są one liniowo zależne to np. \(\displaystyle{ \vec{a} =k\cdot \vec{b}}\), czyli kombinacja wygląda:
\(\displaystyle{ k_1(k\vec{b}) + k_2\vec{b} = 0}\) wtedy \(\displaystyle{ (k_1\cdot k + k_2)\vec{b} = 0}\), przypadki wektorów zerowych odrzucamy, czyli mamy \(\displaystyle{ k_1\cdot k + k_2=0}\) i na pewno znajdziemy niezerowe liczby które to spełniają zatem kombinacja nie jest zerowa.

Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbując to rozwiązać dochodzimy do tego, że wektory są zależne:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza właśnie liniową zależność.

[MakCis]

Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbując to rozwiązać dochodzimy do tego, że wektory są zależne:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza właśnie liniową zależność.

Na początku piszesz że sa liniowo niezależne, a potem że sa liniowo zalezne. Nie czaje :/

[matmi]

Ok..
Jeśli natomiast byłyby one liniowo niezależne to nie znajdziemy \(\displaystyle{ k_1,k_2}\) niezerowych żeby to było spełnione:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\).
Próbujemy to rozwiązać:
\(\displaystyle{ k_1\vec{a} = - k_2\vec{b}}\), \(\displaystyle{ k_1\neq 0}\)
\(\displaystyle{ \vec{a} = - \frac{k_2}{k_1} \vec{b} = 0}\) a to oznacza liniową zależność.
Zatem nie mogliśmy założyć, że \(\displaystyle{ k_1\neq 0}\), stąd \(\displaystyle{ k_1= 0}\).
A skoro tak, to \(\displaystyle{ k_1\vec{a} + k_2\vec{b} = 0}\) przybiera postać:
\(\displaystyle{ k_2\vec{b} = 0}\) i skoro \(\displaystyle{ \vec{b}}\) jest niezerowy to \(\displaystyle{ k_2=0}\), czyli\(\displaystyle{ k_1=k_2=0 \Rightarrow}\) kombinacja zerowa