Co znaczy dim?

[maker3]

Żeby wektory tworzyły bazę to:
1. Muszą być liniowo niezależne
2. \(\displaystyle{ \dim R ^{n} = n}\)

Teraz mam pytanie co znaczy ten ten dim?
Na lekcji miałem tylko jeden przykład \(\displaystyle{ \dim R ^{3} = 3}\)
I nieszczęśliwie się złożyło, że były tam trzy wektory \(\displaystyle{ x,y,z}\)
a każdy z tych wektorów miał 3 współrzędne.

Mógłby mi ktoś powiedzieć czy dim znaczy ilość wektorów czy ilość współrzędnych.

Domyślam się, że chodzi o ilość wektorów, ponieważ
\(\displaystyle{ R ^{3}}\) samo w sobie oznacza, że będą 3 współrzędne.

[tometomek91]

dim - dimensionary, odpowiednik polski to "wymiar"
n-dimension space - przestrzeń n wymiarowa

[maker3]

Najłatwiej będzie na przykładzie
\(\displaystyle{ x = (2, 5, 7), \ y = (-1, 3, 1)}\) - w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\) ,

\(\displaystyle{ \dim=2}\), tak?

[tometomek91]

dim=3

[xanowron]

Ale wymiar czego?

[maker3]

\(\displaystyle{ x = (2, 5, 7), \ y = (-1, 3, 1)}\) - w przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{3}}\)


\(\displaystyle{ \alpha (2, 5, 7) + \beta (-1, 3, 1) = (0, 0, 0)}\)


\(\displaystyle{ 2 \alpha - \beta = 0}\)
\(\displaystyle{ 5 \alpha + 3 \beta = 0}\)
\(\displaystyle{ 7 \alpha + \beta =0}\)


\(\displaystyle{ 2 \alpha = \beta}\)
\(\displaystyle{ 5 \alpha +6 \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ 11 \alpha = 0}\)
\(\displaystyle{ \alpha = 0}\)

\(\displaystyle{ 0 + \beta = 0}\)

\(\displaystyle{ \beta = 0}\)

Czyli wynika z tego, że układ jest liniowo niezależny.
A skoro \(\displaystyle{ \dim R ^{3} = 3}\), to te wektory tworzą bazę.
Zgadza się?

[xanowron]

Przestrzeń ta ma wymiar równy \(\displaystyle{ 2}\), bo baza składa się z dwóch wektorów.

[maker3]

Ok, dziękuje wszystkim za pomoc.