baza kanoniczna

[beta666]

W przestrzeni wektorowej wektor \(\displaystyle{ x \in R^{3}}\) w bazie \(\displaystyle{ {w_{1} = (0, -1, 1), w_{2}= (1, 0, 2), w_{3} = (0, 0, 1)}}\) ma współrzędne \(\displaystyle{ [-1, 3, 2]}\). Wyznaczyć jego współrzędne w bazie kanonicznej.

Nie jestem pewna ale czy mam po prostu współrzędne wektora \(\displaystyle{ [-1,3,2]}\) pomnożyć przez \(\displaystyle{ e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)}\) ? Zatem otrzymamy (-1,3,2) ? xP

[Damianito]

Nie.

Trzeba najpierw zapisać, co to znaczy, że wektor x ma takie współrzędne w takiej bazie.

[beta666]

tzn:

\(\displaystyle{ \begin{cases} -1=b\\3= -a\\ 2 = a+2b+c \end{cases}}\)
mam wektor (-3,-1,7) ? A jak mam go zapisać w bazie kanonicznej ?

[Damianito]

Mylisz chyba dane stwierdzenie ze stwierdzeniem, że \(\displaystyle{ x}\) to wektor współrzędnych wektora \(\displaystyle{ (-1,3,2)}\) w danej bazie.

Chodzi raczej o to, że skoro wektor \(\displaystyle{ x}\) w danej bazie ma współrzędne \(\displaystyle{ [-1,3,2]}\), to znaczy to tyle, że \(\displaystyle{ x = (-1)*w_1 + 3*w_3 + 2*w_2}\). W bazie kanonicznej ma zaś takie współrzędne \(\displaystyle{ [a,b,c]}\), że \(\displaystyle{ x=a*e_1+b*e_2+c*e_3}\)