Podprzestrzeń liniowa

[maker3]

Które z następujących zbiorów są podprzestrzeniami liniowymi odpowiednich przestrzeni:
a) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3} ): x_{1}, x_{2}, x_{3} \in R \wedge x_{1} = 0\}}\),
b) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3} ): x_{1}, x_{2}, x_{3} \in R \wedge x_{2} - x_{3} = 0\}}\),
c) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3} ): x_{1}, x_{2}, x_{3} \in R \wedge 2x_{1} + 3x_{2} - 5x_{3} = 0\}}\),
d) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3} ): x_{1}, x_{2}, x_{3} \in R \wedge x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = 0 \wedge x_{1} + x_{2} - 5x_{3} = 0\}}\),
e) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ): x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R \wedge x_{1} = 2x_{2} \wedge x_{3} = x_{4} \}}\),
f) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ): x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R \wedge x_{3} = 1\}}\),
g) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ): x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R \wedge 2x_{1} - 3x_{2} + x_{4} = 5\}}\),
h) \(\displaystyle{ \{(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ): x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \in R \wedge 2x_{1} ^{2} + x_{2} – 2x_{3} = 0\}}\).

Możecie mi powiedzieć czy dobrze to rozwiązałem?
a - jest podprzestrzenią liniową
b - jest
c - jest
d - jest
e - jest
f - nie
g - nie
h - jest (nie jestem pewien jaki wpływ ma potęgowanie)



Jak można to w prosty sposób udowodnić.
Analizując inne rozwiązane przykłady, wytłumaczyłem sobie to na "chłopski sposób", że:
\(\displaystyle{ \alpha x _{x} = \beta x _{y}}\) lub \(\displaystyle{ \alpha x _{x} = 0}\) - wtedy jest podprzestrzeń liniowa
\(\displaystyle{ \alpha x _{x} \neq 0}\) - nie ma podprzestrzeni liniowej

Tutaj są przykłady tylko, że nie zrobili rozpiski jak nie ma podprzestrzeni
ciach

[szw1710]

Wszystkie z wyjątkiem h) OK. h) nie jest, bo np. jeśli jakiś wektor tam należy, to jego dwukrotność już nie.