Witam nie mam pojęcia jak się zabrać za przykład c)
Byłabym wdzięczna za rozwiązanie przykładu c) i sprawdzenie poprawności mojego rozwiązania dla przykładów a) i b)
a) \(\displaystyle{ V =\left\{ (x,y,z,t) \in R ^{4} : x=2y \wedge x ^{2} =4y ^{2} \right\}}\)
b) \(\displaystyle{ V =\left\{ f:R \rightarrow R : \bigwedge\limits_{x,y\in R} f(x+y) = f(x) \cdot f(y)\right\}}\)
c) \(\displaystyle{ V =\left\{ (x _{n}) \in R ^{\infty} : \bigvee\limits_{n _{0} \in N} \bigwedge\limits_{n \ge n _{0} } x _{n} =0 \right\}}\)
a)
1. \(\displaystyle{ \theta =(0,0,0,0)}\) więc \(\displaystyle{ \theta \in V,}\) bo \(\displaystyle{ 0=2 \cdot 0 \wedge 0 ^{2} =4 \cdot 0 ^{2}}\)
2. Niech \(\displaystyle{ \alpha \in R \wedge (x,y,z,t) \in V}\)
Stąd \(\displaystyle{ x=2y \wedge x ^{2} =4y ^{2}}\) (*)
\(\displaystyle{ \alpha(x,y,z,t)=(\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t)}\)
Czy \(\displaystyle{ \alpha x=2 \alpha y \wedge (\alpha x) ^{2} =4(\alpha y) ^{2}}\)
Na mocy (*) po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \alpha x=2 \alpha y \wedge \alpha x ^{2} =4\alpha y ^{2}}\), zatem \(\displaystyle{ (\alpha x,\alpha y,\alpha z,\alpha t) \not\in V}\)
Ponieważ warunek 2 nie zachodzi na mocy twierdzenia o podprzestrzeni: V nie jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ R ^{ 4 }}\)
b)
1. \(\displaystyle{ \theta=?}\)
2. Niech \(\displaystyle{ \alpha \in R \wedge f \in V}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x+y) = f(x) \cdot f(y)}\)(*)
Czy \(\displaystyle{ \alpha f(x+y) = \alpha f(x) \cdot f(y)}\)
Na mocy (*) po pomnożeniu stronami przez \(\displaystyle{ \alpha}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \alpha f(x+y) = \alpha f(x) \cdot f(y)}\)
3. Niech \(\displaystyle{ f,g \in V}\)
Stąd \(\displaystyle{ f(x+y) = f(x) \cdot f(y) \wedge g(x+y) = g(x) \cdot g(y)}\)(**)
Czy \(\displaystyle{ f(x+y) + g(x+y) = f(x) \cdot f(y) + g(x) \cdot g(y)}\)
Na mocy (**) dodając stronami uzyskujemy:
\(\displaystyle{ f(x+y) + g(x+y) = f(x) \cdot f(y) + g(x) \cdot g(y)}\)
Zatem V jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ R ^{R}}\)
Z góry dziękuję za pomoc