Macierz odwrotna- rozwiązywanie równań

[Kemot]

a mam jeszcze taki problem z obliczeniem czegoś takiego:

Metodą macierzy odwrotnej rozwiązać równanie Ax=b, gdzie:
A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}20&1&8&1\\0&-1&1&-1\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)


b=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{c}41\\-1\\0\\0\end{array}\right]\end{array}\right]}\)

bardzo proszę o pomoc krok po kroku

[bigi1991]

Ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne, mamy:
\(\displaystyle{ Ax=b /A(z lewej)}\)
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{A} b}\)
musimy więc odwrócić macierz A
najpierw obliczmy wyznacznik
\(\displaystyle{ detA=(-1 )^{2} \cdot 20 \cdot \left[\begin{array}{ccc}-1&1&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{array}\right]}\)
wyznacznik tej małej liczymy z algorytmu
\(\displaystyle{ (-1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 0) + (-1 \cdot 0 \cdot 0) - (-1 \cdot 1 \cdot 0) - (1 \cdot 0 \cdot 1) - (-1 \cdot 1 \cdot 0) = -1}\)
więc
\(\displaystyle{ detA= 1 \cdot 20 \cdot (-1)=-20}\)
macierz jest odwracalna ponieważ
\(\displaystyle{ detA \neq 0}\)
można przejść do odwracania jest to monotonny proces bo ze względu na wysoki wyznacznik posługujemy się metodą dopełnień algebraicznych
\(\displaystyle{ A ^{-1} = \frac{1}{detA} \cdot \left[ M \right] ^{T}}\)
\(\displaystyle{ M=\left[ \begin{array}{cccc}1&0&0&0\\1&-20&-20&0\\9&20&20&0\\9&-40&-20&20\end{array}\right]}\)
liczby w tej macierzy to wyznaczniki macierzy powstałych w wyniku usuniecia i-tego wiersza i j-tej kolumny pomnożone przez \(\displaystyle{ (-1) ^{n+m }}\)
Myślę że to pomorze, teraz tylko trzeba transponować macierz M= zamiana wierszy na kolumny
i wykonać mnożenia
\(\displaystyle{ x= \frac{1}{detA} \cdot M ^{x} \cdot b}\)
\(\displaystyle{ M ^{x}}\) to macierz M po transponowaniu
Mam nadzieje że pomogłem, ze względu na dużą ilość cyferek mogłem się pomylić z M

[alfgordon]

Dla sprawdzania macierzy można się posłużyć programami

[bigi1991]

posługiwałem się czymś takim ale przy wykreślaniu kolumn i wierszy mogłem się gdzieś machnąć ale wątpie