obliczanie wyznacznika

dzidziuniaa · Post autor: **dzidziuniaa** » 13 lis 2010, o 00:21

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&2&12\\2&0&1&1&4\\2&1&1&-1&3\\3&2&-1&1&8\\1&1&1&0&6\end{bmatrix}}\)

Makaveli · Post autor: **Makaveli** » 13 lis 2010, o 00:52

A jaki napotkałaś problem w tym zadaniu?

dzidziuniaa · Post autor: **dzidziuniaa** » 13 lis 2010, o 01:00

za pomocą LAPLACE'a obniżyłam stopień do 4, ale nie potrafię połączyć tego co wyszło z piątego z tym co wychodzi jak przechodzę do trzeciego.

Makaveli · Post autor: **Makaveli** » 13 lis 2010, o 01:34

Może pokaż jak to liczysz, będzie łatwiej pomóc.

dzidziuniaa · Post autor: **dzidziuniaa** » 13 lis 2010, o 12:23

Oczywiście w przykładzie chodzi o wyznacznik, zrobiłam błąd przy używaniu odpowiedniej formuły, więc:
wybieram 2 kolumnę bo ma dwa zera.

det= \(\displaystyle{ 1*(-1) ^{5}}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&1&2&12\\2&1&1&4\\3&-1&1&8\\1&1&0&6\end{array}\right|}\) + \(\displaystyle{ 2*(-1) ^{6}}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&1&2&12\\2&1&1&4\\2&1&-1&3\\1&1&0&6\end{array}\right|}\) + \(\displaystyle{ 1*(-1) ^{7}}\)\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{cccc}1&1&2&12\\2&1&1&4\\2&1&-1&3\\3&-1&1&8\end{array}\right|}\)

i tutaj już nie wiem, bo logicznie to trzebyby dla każdego z tych trzech znów obniżać i poziom ale to mnóstwo obliczeń, i łatwo o pomyłkę (co mi się zdarzało za każdym razem). A jeśli obliczam już ten jeden wspólny wyznacznik dla wszystkich to ta część na początku, \(\displaystyle{ 1*(-1) ^{5}}\) , \(\displaystyle{ 2*(-1) ^{6}}\) , \(\displaystyle{ 1*(-1) ^{7}}\) mnożone są przez całość, która będzie potem?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 13 lis 2010, o 15:07

Czy nie lepiej byłoby dokonać jakiegoś rozkładu macierzy

Złożoność obliczeniowa rozwinięcia Laplace wynosi \(\displaystyle{ O\left( n!\right)}\)
a rozkładu macierzy albo eliminacji Gaussa \(\displaystyle{ O\left( n^3\right)}\)

dzidziuniaa · Post autor: **dzidziuniaa** » 13 lis 2010, o 20:09

Poproszę jednak o pomoc drogą oficjalną i bardziej "zrozumiałą" dla laika:)

Makaveli · Post autor: **Makaveli** » 13 lis 2010, o 23:56

Jeśli Laplacea to tak jak mówisz, w kolejnym kroku znów 'obniżasz poziom', potem jeszcze raz i tak aż dojdziesz do macierzy 1x1. Dużo obliczeń, ale skoro się upierasz

dzidziuniaa · Post autor: **dzidziuniaa** » 14 lis 2010, o 14:10

No właśnie wręcz przeciwnie poszukuję łatwiejszej metody...ale tak, żebym zrozumiała o co chodzi:) o co chodzi z "rozkładem macierzy"?

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 14 lis 2010, o 14:49

dzidziuniaa, Rozkładasz macierz na iloczyn macierzy
i korzystasz z tego że (w grę wchodzi np rozkład trójkątny LU ,rozkład ortogonalnotrójkątny QR
rozkład według wartości osobliwych )

\(\displaystyle{ \det{AB}=\det{A}}\)

Zacznij od rozkładu LU (najprościej go wyznaczyć)

Rozkład LU można wyznaczyć korzystając z mnożenia macierzy

Element iloczynu macierzy to iloczyn skalarny odpowiedniego
wiersza pierwszej macierzy (po naszej lewej) i odpowiedniej
kolumny drugiej macierzy (po naszej prawej)

(ten pomysł jest stosunkowo prosty ja sam do niego doszedłem)

Rozkładu LU można też dokonać za pomocą eliminacji Gaussa
Daną macierz sprowadzasz do macierzy górnotrójkątnej
za pomocą operacji elementarnych używanych w eliminacji Gaussa
Współczynniki użyte do eliminacji zapisujesz w oddzielnej macierzy
w odpowiednim miejscu (w miejscu w którym stał wyeliminowany element)
Lepiej jest zapisywać w oddzielnej macierzy aby nie pomyliło się
które elementy już eliminowaliśmy