Równania z macierzą

[ewa91]

Witam!
Mam do rozwiązania taki układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x_{3}=4\\
x_{1}-x_{2}-x_{3}=-1\\
x_{1}-x_{2}+x_{3}=1\end{cases}}\)

Rozwiązywałam to za pomocą macierzy, czyli:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&-1&-1\\1&-1&1\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{array}\right]
=
\left[\begin{array}{ccc}4\\-1\\1\end{array}\right]}\)

Dalej wyznaczyłam rząd macierzy układu i rząd macierzy uzupełnionej układu:
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\1&-1&-1&-1\\1&-1&1&1\end{bmatrix}}\)
po przekształceniach otrzymałam
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&0\\0&-3&0&0\\0&0&2&0\end{bmatrix}}\)
czyli rząd macierzy = rząd macierzy uzupełnionej = 3 = 3 czyli ma dokładnie jedno rozwiązanie

i co dalej?

doprowadziłam to do takiej postaci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&4\\0&1&\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\\0&0&2&2\end{bmatrix}}\)

tworze rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{3}=4\\
x_{2}+\frac{2}{3}x_{3}=\frac{5}{3}\\
2x_{3}=2\end{cases}}\)

ale niestety nie wiem co robię źle bo po sprawdzeniu wynik nie jest prawidłowy
Proszę o pomoc

[Makaveli]

Coś źle przekształcasz tą macierz.
Po przekształceniach mi wyszło
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}}\)

Wychodzisz od
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\1&-1&-1&-1\\1&-1&1&1\end{bmatrix}}\)
od drugiego i trzeciego wiersza odejmujesz pierwszy, otrzymasz wtedy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\0&-3&-2&-5\\0&-3&0&-3\end{bmatrix}}\)
od trzeciego odejmujesz drugi
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\0&-3&-2&-5\\0&0&2&2\end{bmatrix}}\)
trzeci możesz podzielić przez \(\displaystyle{ 2}\) a potem do drugiego dodaj dwukrotność trzeciego, otrzymasz
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\0&-3&0&-3\\0&0&1&1\end{bmatrix}}\)
dzielisz środkowy przez \(\displaystyle{ -3}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\0&1&0&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}}\)
no i na koniec robisz porządek z pierwszym (odejmujesz od niego trzeci, potem dwukrotność drugiego)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\end{bmatrix}}\)

Odp:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=1\\
x_{2}=1\\
x_{3}=1\end{cases}}\)

[loitzl9006]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1&4\\0&1&\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\\0&0&2&2\end{bmatrix}}\)

Błąd masz pewnie gdzieś w pierwszym wierszu. Układ można też rozwiązać macierzą trójkątną:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\1&-1&-1&-1\\1&-1&1&1\end{bmatrix} \rightarrow \left\{ w _{2}-w _{1} \right\} = \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\0&-3&-2&-5\\1&-1&1&1\end{bmatrix} \rightarrow \left\{ w _{3}-w _{1} \right\} = \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\0&-3&-2&-5\\0&-3&0&-3\end{bmatrix} \rightarrow \left\{ w _{3}-w _{2} \right\} = \begin{bmatrix} 1&2&1&4\\0&-3&-2&-5\\0&0&2&2\end{bmatrix}}\)

Mamy macierz trójkątną, a więc:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+2x_{2}+x _{3}=4 \\ -3x_{2}-2x_{3}=-5\\ 2x_{3}=2\end{cases}}\)

Z tego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}=1 \\ x_{2}=1\\ x_{3}=1\end{cases}}\)