nie mogę sobie poradzić z takim zadaniem, je jeżeli ktoś mógłby mi pomóc i zrobić w takiej ilości kroków która pozwoli mi na zrozumienie, byłbym bardzo wdzięczny.
"Dany jest wektor: A= (2,1,1,0). Znajdź składowe jednoformy p jeśli p(A)=1"
Pozdrowienia
Krolas
problem z jednoformą
-
shvedeq
- Użytkownik
- Posty: 372
- Rejestracja: 12 kwie 2010, o 23:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 25 razy
problem z jednoformą
Na początek napiszę, że będę korzystał z . Oznaczenia:
\(\displaystyle{ \{e^j\}_{j=1}^{4}}\) standardowa baza w \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\) ; np \(\displaystyle{ e^2=(0,1,0,0)^T}\)
\(\displaystyle{ \{e_j\}_{j=1}^{4}}\) baza dualna, tzn tże: \(\displaystyle{ e_j(e^k)=\delta_j^k}\). np \(\displaystyle{ e_2=(0,1,0,0)}\)
Twój wektor można w bazie standardowej rozpisać w ten sposób:
\(\displaystyle{ A=2e^1+e^2+e^3}\). Jednoformę rozpiszemy w bazie dualnej: \(\displaystyle{ p=p^j e_j}\). Naszym zadaniem jest wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ p^j}\). W tych oznaczeniach mamy:
\(\displaystyle{ p(A)=p(2e^1+e^2+e^3)=2p(e^1)+p(e^2)+p(e^3)=2p^je_j(e^1)+ p^je_j(e^2)+p^je_j(e^3)=2p^j\delta_j^1+p^j\delta_j^2+p^j\delta_j^3=2p^1+p^2+p^3=1}\)
Niech \(\displaystyle{ p^1=p^2=0}\) wówczas \(\displaystyle{ p^3=1}\). Czwarta składowa tej jednoformy może być dowolna (dla prostoty przyjmijmy zero). Czyli \(\displaystyle{ p=(0,0,1,0)}\). Prostym rachunkiem przekonujemy się, że faktycznie \(\displaystyle{ p(A)=1}\)
\(\displaystyle{ \{e^j\}_{j=1}^{4}}\) standardowa baza w \(\displaystyle{ \mathbb R^4}\) ; np \(\displaystyle{ e^2=(0,1,0,0)^T}\)
\(\displaystyle{ \{e_j\}_{j=1}^{4}}\) baza dualna, tzn tże: \(\displaystyle{ e_j(e^k)=\delta_j^k}\). np \(\displaystyle{ e_2=(0,1,0,0)}\)
Twój wektor można w bazie standardowej rozpisać w ten sposób:
\(\displaystyle{ A=2e^1+e^2+e^3}\). Jednoformę rozpiszemy w bazie dualnej: \(\displaystyle{ p=p^j e_j}\). Naszym zadaniem jest wyznaczyć współczynniki \(\displaystyle{ p^j}\). W tych oznaczeniach mamy:
\(\displaystyle{ p(A)=p(2e^1+e^2+e^3)=2p(e^1)+p(e^2)+p(e^3)=2p^je_j(e^1)+ p^je_j(e^2)+p^je_j(e^3)=2p^j\delta_j^1+p^j\delta_j^2+p^j\delta_j^3=2p^1+p^2+p^3=1}\)
Niech \(\displaystyle{ p^1=p^2=0}\) wówczas \(\displaystyle{ p^3=1}\). Czwarta składowa tej jednoformy może być dowolna (dla prostoty przyjmijmy zero). Czyli \(\displaystyle{ p=(0,0,1,0)}\). Prostym rachunkiem przekonujemy się, że faktycznie \(\displaystyle{ p(A)=1}\)