Wyznacz macierz

[izak110]

Wyznacz macierz X z równania \(\displaystyle{ AX + BX = X + A}\) gdzie:

\(\displaystyle{ A= \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\2&1&1\\0&0&3\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ B= \left[\begin{array}{ccc}2&-1&1\\-1&0&0\\-2&1&0\end{array}\right]}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ AX+BX=X+A\\
AX+BX-X=A\\
\left( A+B-I\right)X=A\\
X=\left( A+B-I\right)^{-1}A}\)

[rtuszyns]

Niech nasza szukana macierz \(\displaystyle{ X}\) będzie postaci:
\(\displaystyle{ X=
\left( \begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&k \end{array}\right)}\)
Wstawiamy do naszego równania i otrzymujemy:
\(\displaystyle{ A\left( \begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&k \end{array}\right) +B\left( \begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&k \end{array}\right)=\left( \begin{array}{ccc}
a&b&c\\
d&e&f\\
g&h&k \end{array}\right)+A}\)
Wykonujemy poszczególne działania, tzn. \(\displaystyle{ AX, BX, X+A}\).
Zatem dostajemy:
\(\displaystyle{ AX=
\left( \begin{array}{ccc}
a+g&b+h&c+k\\
2a+d+g&2b+e+h&2c+f+k\\
3g&3h&3k \end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ BX=
\left( \begin{array}{ccc}
2a-d+g&2b-e+h&2c-f+k\\
-a&-b&-c\\
-2a+d&-2b+e&-2c+f \end{array}\right)}\)
\(\displaystyle{ X+A=
\left( \begin{array}{ccc}
a+1&b&c+1\\
d+2&e+1&f+1\\
g&h&k+3 \end{array}\right)}\)
Teraz wykonajmy dodawanie \(\displaystyle{ AX+BX}\):
\(\displaystyle{ AX+BX=\left( \begin{array}{ccc}
3a+2g-d&3b+2h-e&3c+2k-f\\
a+d+g&b+e+h&c+f+k\\
-2a+d+3g&-2b+e+3h&-2c+f+3k \end{array}\right)}\)
Mamy zatem równość macierzy:
\(\displaystyle{ \left( \begin{array}{ccc}
3a+2g-d&3b+2h-e&3c+2k-f\\
a+d+g&b+e+h&c+f+k\\
-2a+d+3g&-2b+e+3h&-2c+f+3k \end{array}\right) =
\left( \begin{array}{ccc}
a+1&b&c+1\\
d+2&e+1&f+1\\
g&h&k+3 \end{array}\right)}\).
Macierze są sobie równe, gdy odpowiednie elementy macierzy są sobie równe. Otrzymujemy więc układ 9 równań liniowych z dziewięcioma niewiadomymi:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2a+2g-d=1 \\
2b+2h-e=0\\
2c+2k-f=1\\
a+g=2\\
b+h=1\\
c+k=1\\
-2a+d+2g=0\\
-2b+e+2h=0\\
-2c+f+2k=3\\
\end{cases}}\)
W prosty sposób wyznaczamy wszystkie wartości niewiadomych i otrzymujemy ostatecznie szukaną macierz \(\displaystyle{ X}\):
\(\displaystyle{ X=\left( \begin{array}{ccc}
\frac{7}{4}&1&0\\
3&2&1\\
\frac{1}{4}&0&1 \end{array}\right)}\)

[Mariusz M]

rtuszyns, macierz \(\displaystyle{ A+B-I}\)
jest odwracalna więc nie ma potrzeby liczyć w ten sposób
(ale jak ktoś się uprze to można)

\(\displaystyle{ AX+BX=X+A\\
AX+BX-X=A\\
\left( A+B-I\right)X=A\\
X=\left( A+B-I\right)^{-1}A}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&0&1 \\ 2&1&1\\0&0&3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 2&-1&1 \\ -1&0&0\\-2&1&0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&0\\0&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&2 \\ 1&0&1\\-2&1&2 \end{bmatrix}^{-1}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&2&1&0&0 \\ 1&0&1&0&1&0\\-2&1&2&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&2&1&0&0 \\ -2&0&-2&0&-2&0\\-2&1&2&0&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&-1&2&1&0&0 \\ 0&-1&0&1&-2&0\\0&0&4&1&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -4&2&-4&-2&0&0 \\ 0&-1&0&1&-2&0\\0&0&4&1&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -4&2&0&-1&0&1 \\ 0&-2&0&2&-4&0\\0&0&4&1&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -4&2&0&-1&0&1 \\ 0&-2&0&2&-4&0\\0&0&4&1&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -4&0&0&1&-4&1 \\ 0&-1&0&1&-2&0\\0&0&4&1&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&0&0&-1&4&-1 \\ 0&4&0&-4&8&0\\0&0&4&1&0&1 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -1&4&-1 \\-4&8&0\\1&0&1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&0&1 \\2&1&1\\0&0&3 \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 7&4&0 \\12&8&4\\1&0&4 \end{bmatrix}}\)