równanie plaszczyzny, dane dwa punkty i pł. prostopadła

[justyna86]

Witam,

Na napisanie całego tytułu zabrakło mi miejsca.

Nie wiem jak się za to zabrać:
Znaleźć równanie prostej H przechodzącej przez dwa punkty \(\displaystyle{ P_1 (2,2,1), P_2 (4,3,2)}\) i prostopadłej do płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi: x+2y-z-1=0}\) oraz odległość punktu \(\displaystyle{ P_0 (2,2,5)}\) od płaszczyzny H.

Są podobne zadania, ale dotyczą one przechodzenia przez 1 lub 3 punkty. Nie znalazłam zadania łączącego wszystkie elementy.
Mi się wydaje, że z \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\) należy zrobić wektor.

Dziękuję za pomoc:)

[Crizz]

Płaszczyzna prostopadła do wektora \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\). Wystarczy zatem znaleźć wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) prostopadły do szukanej płaszczyzny, a potem podstawić do powyższego równania dowolny ze znanych punktów szukanej płaszczyzny, żeby wyliczyć \(\displaystyle{ D}\).

Zauważ, że z powyższej własności wynika, iż wektor \(\displaystyle{ [A,B,C]}\) jest prostopadły do analogicznego wektora płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\): \(\displaystyle{ [1,2,-1]}\), a także do wektora \(\displaystyle{ \vec{P_1P_2}}\). Takim wektorem jest np. \(\displaystyle{ [1,2,-1] \times \vec{P_1P_2}}\).