Izometrie afiniczne

[xiikzodz]

Przekształcenie \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2}\) nazwiemy izometrią, gdy \(\displaystyle{ \|f(x)-f(y)\|=|x-y|}\).

Rozstrzygnąć, czy wszystkie izometrie \(\displaystyle{ \mathbb{R}\to\mathbb{R}^2}\) są przekształceniami afinicznymi (t.j. czy \(\displaystyle{ g(x)=f(x)-f(0)}\) jest przekształceniem liniowym) przy założeniu, że

1. \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=\sqrt{x^2+y^2}}\)
2. \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=|x|+|y|}\)

[max]

A.:    

Tak. Ogólniej dowolna izometria między przestrzeniami wektorowymi z rzeczywistym iloczynem skalarnym jest afiniczna.

B.:    

Nie. Rozpatrzmy bowiem taką izometrię nieafiniczną:
\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases} (x+1,-1), \ x\in (-\infty, -1), \\ (0,x), \ x\in [-1,1], \\ (x-1, 1), \ x\in (1,\infty)\end{cases}}\)

[xiikzodz]

Można też wykazać, że izometria "na" jest afiniczna, jak również każda izometria w przestrzeń z normą ściśle wypukłą (to jest taką, że dla niewspółliniowych trzech punktów nierówność trójkąta jest ostra). Jeśli natomiast norma nie jest ściśle wypukła, to można skonstruować izometrie nieafiniczne poodobnie do przykładu powyżej.

[Ein]

Można też wykazać, że izometria "na" jest afiniczna