2 krótkie zadania

mokasyn · Post autor: **mokasyn** » 5 lis 2010, o 16:51

Witam! Mam problem ze zrobieniem 2 zadań z macierzy, oto one:
1.)Obliczyć macierz z definicji (czyli wyznacznik)

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 5&1&-3&0 \\ 2&6&3&-1\\3&4&1&2\\1&2&7&8 \end{bmatrix}}\)

2.) Obliczyć wyznacznik dowolnej macierzy A4.

Jeśli jakaś osoba mogłaby rozpisać te zadania krok po kroku z delikatnym wyjaśnieniem, byłbym bardzo wdzięczny.
Pozdrawiam

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 5 lis 2010, o 18:09

mokasyn,

Najlepiej eliminacja Gaussa lub jakiś rozkład macierzy np LU

mokasyn · Post autor: **mokasyn** » 5 lis 2010, o 20:26

niestety nie za bardzo wiem co to jest

. Coś mi mówi twierdzenie Laplace'a, ale nie zajmowalem sie tym juz kawal czasu i niestety wyparowalo... Jesli ktos moglby rozwiazac te zadania wlasnie tym sposobem byloby znakomicie.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 5 lis 2010, o 22:43

mokasyn, twierdzenie Laplace nie jest zbyt efektywne ma złożoność \(\displaystyle{ O\left( n!\right)}\)
i prowadzi do sumy iloczynów po wszystkich permutacjach indeksów

Dla porównania rozkład macierzy np LU ma złożoność \(\displaystyle{ O\left( n^3\right)}\)

Rozwinięcie Laplace daje mniej więcej coś takiego

\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^{n}\left( -1\right)^{i+j}a_{ij}\det{A_{ij}}}\)

Jeżeli masz liczyć z definicji to oblicz sumę iloczynów takich elementów
gdzie pierwsze indeksy tworzą ciąg \(\displaystyle{ 1 \hdots n}\)
a drugie indeksy są permutacją tego ciągu
Znak tych iloczynów ustal na podstawie ilości inwersji tych permutacji

A wyznacznik to wygodniej byłoby policzyć używając eliminacji Gaussa
albo rozkładając macierz np na iloczyn LU (zakładając że możesz używać dzielenia)

Quaerens · Post autor: **Quaerens** » 6 lis 2010, o 10:04

Z Laplace'a stosunkowo prosto jest w tym przykładzie zrobić kolumnę zer i jedynek, wystarczy tylko troszkę poodejmować od siebie wiersze i na końcu wykonać mnożenie i kolejnie odejmowanie. Sposobów jest wiele.