Macierz jednostkowa

[kazhiu]

Witam,

Dostałem zadanie które, brzmi następująco:

Dla danej macierzy \(\displaystyle{ A}\) i danej liczby \(\displaystyle{ t}\) znaleźć \(\displaystyle{ \left(A-t*E\right) ^{2}}\) (\(\displaystyle{ E}\) oznacza macierz jednostkową) gdzie:

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 4&1&-1\\-2&1&1\\4&2&0\end{bmatrix}}\) , \(\displaystyle{ t=2}\)

Mam jeden pomysł ale nie wiem czy można coś takiego zrobić, mianowicie czy macierz jednostkową \(\displaystyle{ E}\) mogę sobie zapisać dowolnie, w tym przypadku:

\(\displaystyle{ E=\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\)

wtedy przemnożył bym wszystkie jej elementy przez 2, następnie odjął od niej macierz \(\displaystyle{ A}\) no i do potęgi na koniec

Jeżeli to głupie to wybaczcie

[shvedeq]

\(\displaystyle{ E}\) mogę sobie zapisać dowolnie

No nie za bardzo. Jest tylko jedna macierz jednostkowa, więc z jej dowolnością może być problem

[kazhiu]

to jak mam to rozwiązać bo nie mam pomysłu

[Inkwizytor]

Twój pomysł jest dobry. chodziło tylko o użycie słowa "dowolnie"

[rtuszyns]

Macierz jednostkowa: \(\displaystyle{ E= \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}}\).
Zatem:
\(\displaystyle{ A-tE=\begin{bmatrix} 4&1&-1\\-2&1&1\\4&2&0\end{bmatrix}-t\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix} 4&1&-1\\-2&1&1\\4&2&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} t&t&t\\t&t&t\\t&t&t\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A-tE=\begin{bmatrix} 4&1&-1\\-2&1&1\\4&2&0\end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 2&2&2\\2&2&2\\2&2&2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ A-tE=\begin{bmatrix} 2&-1&-3\\-4&-1&-1\\2&0&-2\end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ (A-tE)^2=\begin{bmatrix} 2&-1&-3\\-4&-1&-1\\2&0&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2&-1&-3\\-4&-1&-1\\2&0&-2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&-1&-1\\-6&5&13\\0&-2&-2\end{bmatrix}}\)

[Inkwizytor]

Macierz jednostkowa: \(\displaystyle{ E= \begin{bmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{bmatrix}}\).

A to ciekawe!
Gdzie to uczą o takich macierzach jednostkowych?

[kazhiu]

czyli takie rozwiązanie jest poprawne:

\(\displaystyle{ \left(\begin{bmatrix} 4&1&-1\\-2&1&1\\4&2&0\end{bmatrix}-2*\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\right)^{2}=\left(\begin{bmatrix} 4&1&-1\\-2&1&1\\4&2&0\end{bmatrix}- \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}\right)^{2}=}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 2&1&-1\\-2&-1&1\\4&2&2\end{bmatrix}^{2}=\begin{bmatrix} -2&-1&-3\\2&1&3\\12&6&2\end{bmatrix}}\)

[shvedeq]

O ile nie zrobiłeś błędów w rachunkach to tak