Rozwiaz nierownosc na jutro

[aonimowy]

Nie moge sobie z tym poradzic a potrzebuje do jutra
1.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 & X & 2 &-1 \\
X & 3 & 2 & 0 \\
0 & 4 & 1 & 2 \\
X & 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}<2}\)

2.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 & -X \\ 2 & 2 & X & 2 \\ 2 & -X & 2 & 2 \\ X & 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} >0}\)

[cosinus90]

Potrafisz obliczyć wyznacznik macierzy po lewej stronie ?

[aonimowy]

nie chce sie uczyc tylko miec rozwiazane

[myturn]

Gratuluję podejścia i ambicji.. żałosne. Jednak jeśli zechcesz rozwiązać zadanie to może policz wyznaczniki metodą Laplace'a.

[shvedeq]

1) Odejmij 4 wiersz od drugiego.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 & x & 2 &-1 \\ 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 2 \\ X & 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}}\)
Teraz rozwijam względem pierwszej kolumny:
\(\displaystyle{ 1\cdot (-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix} 3 & 3 & 0 \\4 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} + X \cdot (-1)^{1+4} \cdot \begin{vmatrix} x & 2 &-1 \\ 3 & 3 & 0 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix}}\)
Teraz rzowine względem trzeciej kolumny ten pierwszy wyznacznik:
\(\displaystyle{ 2\cdot (-1)^{3+2}\cdot \begin{vmatrix} 3 &3 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}=-1\cdot 2 \cdot (-3)=6}\)
W drugim od pierwszej kolumny odejmę drugą otrzymując:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} x-2 &2 & -1\\ 0 & 3 & 0 \\ 3&1&2 \end{vmatrix}=3\cdot(-1)^{2+2} \cdot \begin{vmatrix} x-2 &-1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}=3\cdot (2(x-2)+3)=3\cdot(2x-4+3)=\\ \\=6x-3}\)
Po wstawieniu tych wyznaczników otrzymasz do rozwiązania nierówność:
\(\displaystyle{ -6x^2+3x+6<2}\)
\(\displaystyle{ -6x^2+3x+4<0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 3^2 - 4 \cdot(-6)\cdot4=9+24\cdot 4=9+96=105}\)
\(\displaystyle{ x_{\pm}=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{-3\pm\sqrt{105}}{-12}=\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{105}}{12}}\)
Rozwiązaniem tej nierówności jest:
\(\displaystyle{ x\in (-\infty,\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{ 105}}{12}) \cup (\frac{1}{4}+\frac{\sqrt {105}}{12}, \infty)}\)



2) \(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 & -X \\ 2 & 2 & X & 2 \\ 2 & -X & 2 & 2 \\ X & 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} >0}\)
Odejmuję 1 kolumne od pozostałych otrzymując:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2 & 0& 0 & -X-2 \\ 2 &0 & X-2 & 0 \\ 2 & -X-2 & 0 & 0 \\ X & 2-x & 2-x & 2-x \end{vmatrix}}\)
Rozwijam względem pierwszego wiersz:
\(\displaystyle{ 2\cdot (-1)^{1+1}\cdot \begin{vmatrix} \\ 0 & x-2 & 0 \\ -X-2 & 0 & 0 \\ 2-x & 2-x & 2-x \end{vmatrix} + (-x-2)\cdot (-1)^{4+1}\cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 & X-2 \\ 2 & -X-2 & 0 \\ X & 2-x & 2-x\end{vmatrix}=2 \cdot \begin{vmatrix} \\ 0 & x-2 & 0 \\ -X-2 & 0 & 0 \\ 2-x & 2-x & 2-x \end{vmatrix}+(x+2) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 & X-2 \\ 2 & -X-2 & 0 \\ X & 2-x & 2-x\end{vmatrix}}\)
Pierwszy wyznacznik rozwijam wzgledem trzecij kolumny dostając:
\(\displaystyle{ (2-x)\cdot(-1)^{3+3}\cdot \begin{vmatrix} \\ 0 & x-2 & \\ -X-2 & 0 \end{vmatrix}=(2-x)(x-2)(2+x)}\)

Drugi wyznacznik rozwijam względem 1 wiersz dostając:
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2 & 0 & X-2 \\ 2 & -X-2 & 0 \\ X & 2-x & 2-x\end{vmatrix}=2\cdot(-1)^{1+1}\cdot\begin{vmatrix} -X-2 & 0 \\ 2-x & 2-x\end{vmatrix} +\\ + (x-2)\cdot (-1)^{1+3}\cdot \begin{vmatrix} 2 & -X-2 \\ X & 2-x \end{vmatrix}=-2(x-2)(x+2)+(x-2)(2(2-x)+x(x+2))=(x-2)(-2x-4+ 4-2x+x^2+2x)=(x-2)(x^2-2x+8)}\)

Po wstawieniu tych wyznaczników w odpowiednie miejsce otrzymujemy, że :
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 & -X \\ 2 & 2 & X & 2 \\ 2 & -X & 2 & 2 \\ X & 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} ==2(2-x)(x-2)(x+2)+(x+2)(x-2)(x^2-2x+8)=(x-2)(x+2)(4-2x + x^2-2x+8)=(x-2)(x+2)(x^2-4x+12)>0}\)
To co jest w 3 nawiasie nie ma pierwiastków rzeczywistych , a więc jest stale dodatnie, stąd mamy, że nasze ostateczne równanie ma 2 miejsca zerowe. Z rysunku widać, że ostatecznym rozwiązaniem jest:
\(\displaystyle{ x\in (-\infty , -2)\cup(2,\infty)}\)