Wymiar bazy

[dusiaczek91]

Kiedy \(\displaystyle{ dim lin(v _{1} , v _{2} ) \le dim lin(v _{1}, v _{2} ,v _{3} )}\) ?-- 1 lis 2010, o 17:53 --Kiedy dim lin(\(\displaystyle{ v_{1}}\) , \(\displaystyle{ v_{2}}\)) le dim lin (\(\displaystyle{ v_{1}}\), \(\displaystyle{ v_{2}}\), \(\displaystyle{ v_{3}}\)) ?

[Zlodiej]

zawsze

[dusiaczek91]

zawsze??? hmmmm, myślę, że pani od ćwiczeń nie będzie usytasfakcjonowana taką odpowiedzią bez dowodu

[miki999]

No to jedziesz (nie wprost):
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \dim lin(v _{1} , v _{2} ) > \dim lin(v _{1}, v _{2} ,v _{3} )}\), wtedy...

[Tomasz Tkaczyk]

Rozbij na dwa przypadki:

1) \(\displaystyle{ v_{3}}\) jest kombinacją liniową \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\).

2) Nieprawda, że (1)

[dusiaczek91]

nie ogarniam tak wogóle co to znaczy : dim lin( \(\displaystyle{ v_{1}}\), \(\displaystyle{ v_{2}}\)). Czym taki zapis róż ni się od lin V ??

[Tomasz Tkaczyk]

Niech \(\displaystyle{ A = \lbrace v_{1}, ..., v_{n} \rbrace}\) będzie skończonym zbiorem wektorów.

\(\displaystyle{ Lin(A)}\) jest to zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów ze zbioru \(\displaystyle{ A}\).

To znaczy
\(\displaystyle{ Lin(A) = \lbrace a_{1}v_{1} + ... + a_{n}v_{n}: a_{1}, ..., a_{n} \in \mathbb{R} \rbrace}\).

Można łatwo zobaczyć, że \(\displaystyle{ Lin(A)}\) jest przestrzenią liniową. Jest to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa zawierająca zbiór \(\displaystyle{ A}\).

Każda przestrzeń liniowa ma swój wymiar, czyli maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów należących do przestrzeni.

\(\displaystyle{ dim(V)}\) oznacza wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ V}\).

I teraz na przykład jeśli \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\) są liniowo niezależne (to znaczy nie leżą w jednej płaszczyźnie), to \(\displaystyle{ dim lin(v_{1}, v_{2}, v_{3}) = 3}\). Gdyby \(\displaystyle{ v_{3}}\) byłby liniowo zależny od \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\), czyli leżałby w płaszczyźnie generowanej przez \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}}\), to \(\displaystyle{ dim lin(v_{1}, v_{2}, v_{3}) < 3}\).

[dusiaczek91]

czyli jeśli \(\displaystyle{ v_{3}}\) jest liniowo zależny od dwóch poprzednich wektorów, czyli jest jego kombinacją liniową, to dimlin(\(\displaystyle{ v_{1}}\), \(\displaystyle{ v_{2}}\), \(\displaystyle{ v_{3}}\)) = 2 ??? oczywiście zakładając, że te dwa pierwsze wektory są liniowo niezależne

[miki999]

Tak.

[dusiaczek91]

Dziękuje wszystkim śliczne za pomoc:)