Suma mnogościowa. Dowód.

[temmy]

Suma mnogościowa dwu (i więcej) podprzestrzeni liniowych nie jest na ogół sama podprzestrzenią - jest tak wtedy i tylko wtedy, gdy jedna z sumowanych przestrzeni zawiera się w drugiej. Z tego powodu wyrażenie suma przestrzeni U i W odnosi się najczęściej do sumy algebraicznej. Bardzo proszę o pomysły jak można zrobić dowód tej równoważności? Będę niezmiernie wdzięczna za wszystkie wskazówki

[Qń]

Oczywiste jest, że jeśli \(\displaystyle{ U \subseteq W}\) lub \(\displaystyle{ W \subseteq U}\), to \(\displaystyle{ U \cup W}\) jest przestrzenią liniową.

Załóżmy więc teraz, że \(\displaystyle{ U \cup W}\) jest przestrzenią liniową. Załóżmy wbrew tezie, że \(\displaystyle{ U \not\subseteq W}\) i \(\displaystyle{ W \not\subseteq U}\). Oznacza to, że istnieją wektory \(\displaystyle{ u\in U \setminus W}\) oraz \(\displaystyle{ w \in W \setminus U}\). Oczywiście też \(\displaystyle{ u,w\in U \cup W}\). Z uwagi na liniowość \(\displaystyle{ U \cup W}\) dostajemy w takim razie, że \(\displaystyle{ u+w \in U \cup W}\). To oznacza, że \(\displaystyle{ u+w\in U}\) lub \(\displaystyle{ u+w\in W}\). Ale gdyby \(\displaystyle{ u+w\in U}\), to z liniowości \(\displaystyle{ U}\) także \(\displaystyle{ w= (u+w)-u \in U}\), co jednak jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ w \notin U}\). Analogicznie nie może być \(\displaystyle{ u+w\in W}\). Otrzymana sprzeczność dowodzi tezy.

Q.

[Kvothe]

Witam, wydaje mnie się, że jest tam literówka, tzn powinno być:

\(\displaystyle{ w = (u+w) -u \in U}\)