Mam do sprawdzenia np czy \(\displaystyle{ (1,1,1), (0,1,0), (1,0,-1)}\) generują przestrzeń \(\displaystyle{ R^3}\), z tego co zdążyłam zauważyć na ćwiczeniach z matematyki, to robiliśmy proste rachunki :
\(\displaystyle{ (a,a,a) + (0,b,0) + (c,0, -c) = (x,y,z)}\)
wyszło: \(\displaystyle{ a=\frac{x+z}{2}, b= \frac{2y-x-z}{2}, c=\frac{x-z}{2}}\)
moje pytanie jest takie: czy jeżeli po prostu \(\displaystyle{ a,b,c}\) są różne od siebie to generują przestrzeń ? W innym przykładzie \(\displaystyle{ a=b}\) i było napisane że nie generują przestrzeni.
generowanie przestrzeni
-
beta666
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 11 lis 2006, o 19:59
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1 raz
generowanie przestrzeni
Ostatnio zmieniony 29 paź 2010, o 19:47 przez Qń, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Masz już kilkadziesiąt postów, chyba powinnaś zdążyć się już zorientować, że na tym forum używa się LaTeX-a?
Powód: Poprawa wiadomości. Masz już kilkadziesiąt postów, chyba powinnaś zdążyć się już zorientować, że na tym forum używa się LaTeX-a?
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
generowanie przestrzeni
Pytanie jest takie:
Co to znaczy generować przestrzeń?
Można odpowiedzieć tak:
Czy przy użyciu tych trzech wektorów można stworzyć każdy inny wektor przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\)?
Nie ma znaczenia, czy a=b itp. chodzi o to aby dla każdego x,y,z liczby a,b,c były określone. Tutaj tak jest zatem wektory te generują przestrzeń.
Np. jak chcemy stworzyć wektor (x,y,z)=(0,7,10) wtedy z tego co policzyłaś wiemy, że wystarczy pomnożyć pierwszy wektor przez a=5, dodać drugi wektor pomnożony przez b=2 i dodać trzeci wektor pomnożony przez c=-5.
Otrzymamy wtedy: \(\displaystyle{ 5\cdot (1,1,1)+2\cdot (0,1,0)-5 \cdot (1,0,-1)=(5,5,5)+ (0,2,0)- (5,0,-5)=(0,7,10)}\).
Są też użyteczne twierdzenia: \(\displaystyle{ R^3}\) ma wymiar 3, dlatego wystarczy aby wektory były liniowo niezależne i wtedy będą bazą tej przestrzeni (tzn. będą generować każdy inny wektor).
Jak sprawdzić liniową niezależność? Wystarczy ustawić wektory w kolumnach tworząc macierz 3x3. Jeżeli wyznacznik tej macierzy jest niezerowy, to wektory są liniowo niezależne.
Co to znaczy generować przestrzeń?
Można odpowiedzieć tak:
Czy przy użyciu tych trzech wektorów można stworzyć każdy inny wektor przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\)?
Nie ma znaczenia, czy a=b itp. chodzi o to aby dla każdego x,y,z liczby a,b,c były określone. Tutaj tak jest zatem wektory te generują przestrzeń.
Np. jak chcemy stworzyć wektor (x,y,z)=(0,7,10) wtedy z tego co policzyłaś wiemy, że wystarczy pomnożyć pierwszy wektor przez a=5, dodać drugi wektor pomnożony przez b=2 i dodać trzeci wektor pomnożony przez c=-5.
Otrzymamy wtedy: \(\displaystyle{ 5\cdot (1,1,1)+2\cdot (0,1,0)-5 \cdot (1,0,-1)=(5,5,5)+ (0,2,0)- (5,0,-5)=(0,7,10)}\).
Są też użyteczne twierdzenia: \(\displaystyle{ R^3}\) ma wymiar 3, dlatego wystarczy aby wektory były liniowo niezależne i wtedy będą bazą tej przestrzeni (tzn. będą generować każdy inny wektor).
Jak sprawdzić liniową niezależność? Wystarczy ustawić wektory w kolumnach tworząc macierz 3x3. Jeżeli wyznacznik tej macierzy jest niezerowy, to wektory są liniowo niezależne.
-
Zlodiej
- Użytkownik
- Posty: 1910
- Rejestracja: 28 cze 2004, o 12:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 108 razy
generowanie przestrzeni
tu nie chodzi o porównywanie a,b,c tylko o to, czy dla wszystkich x,y,z takie a,b,c istnieją.
Przykładowo jak mamy sprawdzić liniową niezależność wektorów (1,1), (2,2) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a(1,1)+b(2,2)=(x,y)}\), zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b=x\\a+2b=y\end{cases}}\).
Wtedy zauważ, że w przypadku gdy chcemy uzyskać wektor (x,y)=(1,2) to ten układ jest sprzeczny, zatem nie istnieją takie a,b z których można otrzymać wektor (1,2).
A czy wychodzi gdzieś w rozumowaniu a=b ?
Przykładowo jak mamy sprawdzić liniową niezależność wektorów (1,1), (2,2) w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) to otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a(1,1)+b(2,2)=(x,y)}\), zatem \(\displaystyle{ \begin{cases} a+2b=x\\a+2b=y\end{cases}}\).
Wtedy zauważ, że w przypadku gdy chcemy uzyskać wektor (x,y)=(1,2) to ten układ jest sprzeczny, zatem nie istnieją takie a,b z których można otrzymać wektor (1,2).
A czy wychodzi gdzieś w rozumowaniu a=b ?