przekształcenia linowe

[Tomczus]

mam problem z takimi zadankami...
1)Sprawdzić czy przekształcenie jest linowe: L:R�→R, L(x,y,z) = -x�+yz
2)Wyznaczyć macierz przekształcenia linowego L, jeśli: L(1,1) = (1,1), L(1,-1) = (3,-3);
Znając życie to są to przykłady bardzo proste ale ja ich niestety nie umiem zrobić Proszę o wytłumaczenie tego tak jak "krowie na rowie" żebym to zrozumiał i wiedział jak zrobić pozostałe przykłady które mam na liście...

[mol_ksiazkowy]

ad1 nie jest liniowe bo np. \(\displaystyle{ L(1, 0, 0)+L(2, 0, 0) L(3, 0, 0)}\)
ad2 wsk: \(\displaystyle{ (x,y)=\frac{x+y}{2} (1,1)+\frac{x-y}{2} (1, -1)}\)

[Tomczus]

Dziękuję za rozwiązanie 1 ale czy mógłbyś mi wytłumaczyć jak do tego doszedłeś bo na ćwiczeniach to raczej mi tego nie uzna.
A co do drugiego to mam rozumieć, że jest (x+y)/2 bo jest R�? a jak by był R� to by było przez 3?

[mol_ksiazkowy]

co do pierwszego: L nie jest liniowe ze wzglaedu na pierwsza zmienna tj. \(\displaystyle{ L(x, 0,0)=-x^2}\) tak?!
Tomczus napisał:

A co do drugiego to mam rozumieć, że jest (x+y)/2 bo jest R�? a jak by był R� to by było przez 3?

Oj nie o to chodzi , masz: tak szukasz stałych alpha, beta t ze:
\(\displaystyle{ (x,y)=\alpha (1,1)+\beta (1, -1)}\)
tj:

\(\displaystyle{ (x,y)= (\alpha,\alpha)+ (\beta, -\beta)=(\alpha+\beta,\alpha-\beta )}\), tj:

\(\displaystyle{ x=\alpha+\beta}\)
\(\displaystyle{ y=\alpha-\beta}\)

wyliczasz i masz , czy wiesz jak dokonczyc...?!

[Tomczus]

zazdroszczę ci że to umiesz spróbuje rozwiązać pozostałe przykłady... ale dziękuje za pomoc to co napisałeś wydaje się jasne ale zobaczymy w praktyce...

[mol_ksiazkowy]

mysle ze bedzie ok
dokonczenie ad2 \(\displaystyle{ L(x,y)=\frac{x+y}{2} L(1,1)+\frac{x-y}{2} L(1, -1)=\frac{x+y}{2}(1,1) + \frac{x-y}{2}(3, -3)=....}\)