przeciwobraz punktu w przekształceniu liniowym macierzowym

[czyzyk80]

Witam

Mam następujący problem z takim zadaniem:

Znajdz przeciwobraz punktu b=(2,0,3) w przekształceniu liniowym zadanym macierzą:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\0&1&2\\2&1&1\end{array}\right]}\)

Jakby to był obraz, to rozumiem, że wyglądałby on następująco:(11,6,7).
Jak jednak uzyskać przeciwobraz? Coś mi chodzi po głowie, że trzeba użyć tu macierzy odwrotnej, ale nie jestem pewien - a brak mi teorii, by to potwierdzić.

Będę wdzięczny za odpowiedz, czy dobrze liczę obraz w przekształceniu liniowym macierzowym i jak policzyć przeciwobraz.

Pozdrawiam serdecznie i dziękuje

Mariusz

[shvedeq]

Oznaczmy twoją macierz przez \(\displaystyle{ A}\) a wektor przez \(\displaystyle{ y}\). Wówczas \(\displaystyle{ A^{-1}(\{y\})=\{ x \in \mathbb R^3 : Ax=y\}}\)
Trzeba więc rozwiązać układ równań, a z tym chyba sobie poradzisz

[JankoS]

Będę wdzięczny za odpowiedz, czy dobrze liczę obraz w przekształceniu liniowym macierzowym i jak policzyć przeciwobraz.

Tak, obrazem \(\displaystyle{ (2,0,3)}\) w tym przekształceniu jest \(\displaystyle{ (11,6,7).}\)
Przekształcenie liniowe jest... liniowe. Macierz jest jest jego reprezentacją.
Tutaj przekształcenie jest równowartościowe, więc można się posłużyć macierzą odwrotną \(\displaystyle{ X^T=A^{-1} \cdot (2,0,3)^T}\), gdzie macierz odwrotna do danej.
Można też inaczej. Wtedy pomija się krok badania różnowartościowości funkcji.

[czyzyk80]

Hej,
Shvedeq, JankoS - dziękuje za odpowiedzi.

Czyli pozostaje tak do zrobienia:

x=\(\displaystyle{ A^{-1}}\)*y
Macierz odwrotna to:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} -1&1&1\\4&-5&-2\\-2&3&1\end{bmatrix}}\)

Więc przeciwobraz mamy następujący: (1,2,-1).

Będę wdzięczny za potwierdzenie (wiem, wiem, to banalne, ale na wykladach i ćwiczeniach nie było słowa o obrazach/przeciwobrazach, a podobno takie zadanie pojawia się na kole:/ )

[JankoS]

Tak. Przeciwobraz jest taki.