Baza wektorów , niezależność

[be-girl222]

Mam takie zadania do udowodnienia:

1. Czy
\(\displaystyle{ lin(v_1,v_2,v_3) = lin(v_1, v_1+v_2, v_1 + v_2 + v_3)}\)?
Ja tutaj rozpisałabym dowolny wektor w jako kombinację liniową wektorów z pierwszej powłoki i przyrównała do kombinacji liniowej wekt. z drugiej powłoki, lecz dostaję zbyt wiele niewiadomych by dojść do jakiegoś wniosku. Czy na to zadanie jest jakiś inny sposób?

2. Wykazać, że
\(\displaystyle{ lin(v_1,...,v_s, w ) = lin (v_1,...,v_s) \Leftrightarrow}\)w jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_s.}\)
Skoro wektory\(\displaystyle{ v_1,...,v_s}\) generują całą przestrzeń (z definicji powłoki liniowej) i v_1,...,v_s,w też generują całą przestrzeń to w nie może być zależny z\(\displaystyle{ v_1,...,v_s}\). Nie wiem czy dobrze rozumiem funkcję powłoki liniowej, ale jeśli jest tak jak piszę to nie wiem jak to udowodnić. I nasuwa mi się takie pytanie, czy w powłoce liniowej wszystkie wektory muszą być niezależne?

3. \(\displaystyle{ V_1 i V_2}\)to podprzestrzenie wektorowe. Czy \(\displaystyle{ V_1 \cup V_2}\) i \(\displaystyle{ -V_1}\)są podprzestrzeniami?
Wzięłabym dowolne 2 wektory \(\displaystyle{ u,w \subset V_1 i V_2}\)oraz liczbę\(\displaystyle{ t \in R}\)i udowodniła, że \(\displaystyle{ u+w oraz t \cdot u}\) też należy do sumy podprzestrzeni\(\displaystyle{ V_1 i V_2.}\) Czy to wystarczy? A z \(\displaystyle{ -V_1}\) jak można się uporać?
4. Jeszcze mam takie pytanie, czy w bazie B=(u,w,v) dowolne 2 wektory (np u i w) będą zawsze niezależne? Czy muszą być wszystkie 3 by była niezależność?

[klaustrofob]

Mam takie zadania do udowodnienia:
1. Czy
\(\displaystyle{ lin(v_1,v_2,v_3) = lin(v_1, v_1+v_2, v_1 + v_2 + v_3)}\)?

prawa strona zawiera się w lewej - to jasne? wystarczy pokazać, że lewa w prawej. ale \(\displaystyle{ v_2\in P}\), bo \(\displaystyle{ v_2=(v_1+v_2)-v_1}\) i analogicznie \(\displaystyle{ v_3\in P}\). stąd lewa zawiera się w prawej.

\(\displaystyle{ lin(v_1,...,v_s, w ) = lin (v_1,...,v_s) \Leftrightarrow}\)w jest kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ v_1,...,v_s.}\)

a) załóżmy, że w jest kombinacją i niech \(\displaystyle{ w=\sum \alpha_i v_i}\). oczywiście, prawa strona zawiera się w lewej i wystarczy uzasadnić, że lewa zawiera się w prawej. weźmy wektor \(\displaystyle{ x=\sum \beta_i v_i+\gamma w}\) należący do lewej strony. wtedy oczywiście \(\displaystyle{ x=\sum(\beta_i+\alpha_i)v_i}\) i \(\displaystyle{ x}\) należy do prawej strony.

b) załóżmy, że prawa strona jest równa lewej. wtedy z definicji powłoki liniowej mamy \(\displaystyle{ w=\sum \alpha_i v_i}\)

I nasuwa mi się takie pytanie, czy w powłoce liniowej wszystkie wektory muszą być niezależne?

nie. przecież powłoką wektorów \(\displaystyle{ (1,0),(0,1)}\) jest całe \(\displaystyle{ R^2}\)

na ogół \(\displaystyle{ V_1\cup V_2}\) nie jest podprzestrzenią. przykład: \(\displaystyle{ V_1=\{(x,0)\}\subset R^2}\), \(\displaystyle{ V_2=\{(0,x)\}\subset R^2}\). natomiast zachodzi równość \(\displaystyle{ -V_1=V_1}\).

Jeszcze mam takie pytanie, czy w bazie B=(u,w,v) dowolne 2 wektory (np u i w) będą zawsze niezależne? Czy muszą być wszystkie 3 by była niezależność?

dowolne dwa są zawsze, skoro są wszystkie trzy.

[be-girl222]

Czyli , by pokazać że 2 powłoki są sobie równe to wystarczy pokazać , że każdy wektor z jednej powłoki da się przedstawić za pomocą sumy wektorów drugiej powłoki? Z czego to wynika?


I czy jak mamy np powłokę liniową złożoną z 2 wektorów z podprzestrzeni V to znaczy że , by wygenerować całą przestrzeń V wystarczą nam te 2 wektory? Nie wiem czy dobrze myślę, co to jest powłoka liniowa.


\(\displaystyle{ V_1=\{(x,0)\}\subset R^2 \cup V_2=\{(0,x)\}\subset R^2}\)
dlaczego w tym wypadku suma tych podprzestrzeni nie jest podprzestrezenią?


Przepraszam za tak podstawowe pytania, dopiero zaczynam przygodę z algebrą liczę na wyrozumiałość...

[klaustrofob]

Czyli , by pokazać że 2 powłoki są sobie równe to wystarczy pokazać , że każdy wektor z jednej powłoki da się przedstawić za pomocą sumy wektorów drugiej powłoki? Z czego to wynika?[/qoute]
za pomocą sumy, a dokładniej - kombinacji liniowej wektorów drugiej powłoki. wynika to z tego, że kombinacja liniowa wektorów \(\displaystyle{ v_1, v_2,\ldots, v_n}\), które same są kombinacjami liniowymi wektorów \(\displaystyle{ w_1, w_2,\ldots, w_m}\) jest też kombinacją liniową wektorów \(\displaystyle{ w_1,w_2,\ldots, w_m}\)

I czy jak mamy np powłokę liniową złożoną z 2 wektorów z podprzestrzeni V to znaczy że , by wygenerować całą przestrzeń V wystarczą nam te 2 wektory? Nie wiem czy dobrze myślę, co to jest powłoka liniowa.

jeżeli masz powłokę 2 wektorów, to dla jej wygenerowania wystarczą te 2 wektory. tylko tyle i aż tyle. powłoka liniowa zestawu wektorów, to najmniejsza podprzestrzeń liniowa zawierająca wszystkie wektory zestawu. równoważnie: jest to zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów tego zestawu.

\(\displaystyle{ V_1=\{(x,0)\}\subset R^2 \cup V_2=\{(0,x)\}\subset R^2}\)
dlaczego w tym wypadku suma tych podprzestrzeni nie jest podprzestrezenią?

to jest suma w sensie teorii mnogości, zwyczajna suma zbiorów. weźmy np. dwa wektory należące do tej sumy (0, 1) i (1,0). ich suma, wektor (1,1) nie należy do zbioru \(\displaystyle{ V_1\cup V_2}\)

[be-girl222]

a czy część wspólna dwóch podprzestrzeni będzie podprzestrzenią?

DZIĘKUJĘ bardzo za odpowiedzi. Już mniej więcej rozumiem co to powłoka liniowa

[klaustrofob]

a czy część wspólna dwóch podprzestrzeni będzie podprzestrzenią?

tak. żeby \(\displaystyle{ V}\) było podprzestrzenią, potrzeba i wystarczy, żeby spełniało dwa warunki: \(\displaystyle{ u, v\in V \Rightarrow u+v\in V}\) oraz \(\displaystyle{ v\in V, \alpha \in K \Rightarrow \alpha v \in V}\). jeżeli teraz masz dwa wektory z \(\displaystyle{ W\cap V}\), to ich suma też należy do \(\displaystyle{ W\cap V}\), bo skoro te wektory należą do \(\displaystyle{ W\cap V}\), to należą do \(\displaystyle{ W}\) i wtedy ich suma też należy do \(\displaystyle{ W}\); należą do \(\displaystyle{ V}\) i wtedy ich suma też należy do \(\displaystyle{ V}\); a zatem suma należy do \(\displaystyle{ W\cap V}\). podobnie z mnożeniem przez skalar.